Как рассчитать длину окружности по формулам через диаметр, равный двум радиусам

Окружность — это множество точек, которое располагается на одинаковом расстоянии от ее центра, представленного точкой.

Для любой точки L, лежащей на окружности, действует равенство OL=R. (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).

Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой.

Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D). Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R

Длина окружности вычисляется по формуле: C=2pi R

Площадь круга: S=pi R^{2}

Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD. Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

Длину дуги можно найти по формуле:

1. Используя градусную меру: CD = frac{pi R alpha ^{circ}}{180^{circ}}
2. Используя радианную меру: CD = alpha R

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N, то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N, равны между собой.

ANcdot NB = CN cdot ND

Касательная к окружности

• Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.
• Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей.
• Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

AC = CB

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

AC^{2} = CD cdot BC

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

AC cdot BC = EC cdot DC

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

angle COD = cup CD = alpha ^{circ}

1. Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.
2. Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.
3. angle AOB = 2 angle ADB
4. Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.
5. angle CBD = angle CED = angle CAD = 90^ {circ}
6. Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.
7. angle ADB = angle AEB = angle AFB
8. Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ {circ}.
9. angle ADB + angle AKB = 180^ {circ}
10. angle ADB = angle AEB = angle AFB
11. На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.
12. Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.
13. angle DMC = angle ADM + angle DAM = frac{1}{2} left ( cup DmC + cup AlB
    ight )
14. Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.
15. angle M = angle CBD — angle ACB = frac{1}{2} left ( cup DmC — cup AlB
    ight )

Вписанная окружность

• Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.
• В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.
• Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.
• Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:
• S = pr,
• где:
• p — полупериметр многоугольника,
• r — радиус вписанной окружности.
• Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:
• r = frac{S}{p}

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

AB + DC = AD + BC

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

1. Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:
2. r = frac{S}{p},
3. где p = frac{a + b + c}{2}

Описанная окружность

• Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника.
• В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.
• Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3-мя вершинами многоугольника.
• Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^{ circ}.
• angle A + angle C = angle B + angle D = 180^ {circ}

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

1. Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:
2. R = frac{a}{2 sin A} = frac{b}{2 sin B} = frac{c}{2 sin C}
3. R = frac{abc}{4 S}
4. где:
5. a, b, c — длины сторон треугольника,
6. S — площадь треугольника.

Теорема Птолемея

• Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.
• Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.
• AC cdot BD = AB cdot CD + BC cdot AD

Источник: https://academyege.ru/page/okruzhnost-i-krug.html

Окружность

• Окружность — геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до центра окружности равно.
  
• Центр окръжности
  
• Радиус: расстояние от центра окружности до его границы.
  

Диаметр: наибольшее расстояние от одной границы окружности до другой. Диаметр равен двум радиусам.

$d = 2cdot r$

1. Периметр (длина окружности): длина границы окружности.
   
   Длина окружности $= pi cdot$ диаметр $= 2 cdot pi cdot$ радиус
2. Длина окружности $= pi cdot d = 2 cdot pi cdot r$

$pi$ — pi: число, равное 3,141592… или $approx frac{22}{7}$, то есть отношение $frac{ ext{длины окружности}}{ ext{диаметр}}$ любого окружности.

Дуга: изогнутая линия, которая является частью окружности.

Дуги окружности измеряется в градусах или радианах.
Например: 90° или $frac{pi}{2}$ — четверть круга,
180° или $pi$ — половина круга.

• Сумма всех дуг окружности составляет 360° или $2pi$
• Хорда: отрезок прямой, соединяющей две точки на окружности.
  
• Сектор: похож на часть пирога (клин).
  
• Касательная к окружности: прямая, перпендикулярна к радиусу, и имеющая ТОЛЬКО одну общую точку с окуржностью.
  

Формулы

1. Длина окружности $=pi cdot ext{диаметр} = 2cdot pi cdot ext{радиус}$
2. Площадь круга $= pi cdot$ радиус2
3. Радиус обозначается как r, диаметр как d,
   длина окружности как P и площадь как S.

4. $P = pi cdot d = 2cdot pi cdot r$
   $S = pi cdot r^2$

• Площадь сектора круга K: (с центральным углом $ heta$ и радиусом $r$).
  Если угол $ heta$ в градусах, тогда площадь = $frac{ heta}{360} pi r^2$
• Если угол $ heta$ в радианах, тогда площадь, тогда площадь = $frac{ heta}{2} r^2$

Углы

Центральный угол

Если длина дуги составляет $ heta$ градуов или радиан, то значение центрального угла также $ heta$ (градусов или радиан).

Если вы знаете длину дуги (в дюймах, ярдах, футах, сантиметрах, метрах …) вы можете найти значение её соответствующего центрального угла ($ heta$) по формуле:

$ heta = 360 cdot frac{l}{P} = frac{360 cdot l}{2 cdot pi cdot r} = frac{180 cdot l}{pi cdot r}$

$l$ — длина дуги.

Вписанный угол

Вписанный угол это угол с вершиной на окружности и со сторонами, которые содержат хорды окружности.
На рисунке, угол APB это вписанный угол.

Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается.

1. Пример:
   $widehat{AB} = 84^circ$
2. $angle APB = frac{84}{2} = 42^circ$
3. Случай 1: два секущие пересекаются внутри окружности.

Когда две секущие пересекаются внутри окружности, величина образованных угла, в два раза меньше суммы величин дуг, на которые они опираются.
На рисунке дуга AB и дуга CD равны 60° и 50°
тогда углы 1 и 2 равны $frac{1}{2}(60^circ + 50^circ)=55^circ$

Случай 2: две секущие пересекаются вне окружности.

Иногда секущие пересекаются за пределами окружности. Когда это случается, величина образующихся углов равна половине разности дуг, на которые они опираются.

$angle ABC =frac{1}{2}(x — y)$

На рисунке дуга AB=80° и дуги CD=30°.
$angle ABC = frac{1}{2}(80 — 30) = frac{1}{2} cdot 50 = 25^circ$

Хорды

• Если две хорды пересекаются внутри окружности, как на рисунке выше, тогда:

• $AX cdot XB = CX cdot XD$

Источник: https://www.math10.com/ru/geometria/krugi.html

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Справочник по математике

Геометрия (Планиметрия)

Окружность и круг

Фигура	Рисунок	Определения и свойства
Окружность		Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Дуга		Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности
Круг		Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Сектор		Часть круга, ограниченная двумя радиусами
Сегмент		Часть круга, ограниченная хордой
Правильный многоугольник		Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны
	Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Дуга

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

      Определение 1. Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

      Определение 2. Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

      Замечание 1. Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

      Определение 3. Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

      Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

Формулы для длины окружности и её дуг

Площадь круга

      Рассмотрим две окружности с общим центром (концентрические окружности) и радиусами радиусами 1 и R, в каждую из которых вписан правильный   n – угольник (рис. 1).

      Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1.

1. Рис.1
2.       Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, равна

      Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна

•       Следовательно,
•       Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, стремится к π, то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, стремится к числу   πR2.
•       Таким образом, площадь круга радиуса R, обозначаемая S, равна
• S = πR2.

Длина окружности

      Рассмотрим правильный   n – угольник   B1B2…Bn , вписанный в окружность радиуса радиуса R, и опустим из центраO окружности перпендикуляры на все стороны многоугольника (рис. 2).

1. Рис.2
2.       Поскольку площадь n – угольника   B1B2…Bn   равна

• то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C, мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:
• откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R:
• C = 2πR.

      Следствие. Длина окружности радиуса 1 равна   2π.

Длина дуги

1.       Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
2. Рис.

   3

3.       В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
4. из которой вытекает равенство:
5.       В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
6. из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

•       Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
• Рис.4
•       В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция
• из которой вытекает равенство:
•       В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция
• из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

1.       Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.
2. Рис.

   5

3.       Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.

   5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

•       Следовательно,
•       В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

      Следовательно,

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/demo/diaggia6.htm

Как посчитать длину круга зная диаметр. Как рассчитать длину окружности, если не указан диаметр и радиус круга

Окружность встречается в повседневной жизни не реже, чем прямоугольник. А у многих людей задача о том, как рассчитать длину окружности, вызывает затруднение. И все потому, что у нее нет углов. При их наличии все стало бы намного проще.

Что такое окружность и где она встречается?

Эта плоская фигура представляет собой некоторое количество точек, которые расположены на одинаковом удалении от еще одной, которая является центром. Это расстояние называется радиусом.

В повседневной жизни нечасто приходится вычислять длину окружности, кроме людей, которые являются инженерами и конструкторами. Они создают проекты механизмов, в которых используются, например, шестеренки, иллюминаторы и колеса. Архитекторы создают дома, имеющие круглые или арочные окна.

В каждом из этих и других случаях требуется своя точность. Причем высчитать длину окружности совершенно точно оказывается невозможно. Связано это с бесконечностью основного числа, имеющегося в формуле. «Пи» до сих пор уточняется. И используется чаще всего округленное значение. Степень точности выбирается такой, чтобы дать максимально верный ответ.

Обозначения величин и формулы

Теперь легко ответить на вопрос о том, как рассчитать длину окружности по радиусу, для этого потребуется такая формула:

Поскольку радиус и диаметр связаны друг с другом, то есть и другая формула для расчетов. Так как радиус в два раза меньше, то выражение немного видоизменится. И формула того, как рассчитать длину окружности, зная диаметр, будет следующей:

l = π * d.

Как быть, если нужно вычислить периметр круга?

Просто вспомнить, что круг включает в себя все точки внутри окружности. А значит, его периметр совпадает с ее длиной. И после того, как рассчитать длину окружности, поставить знак равенства с периметром круга.

Кстати, и обозначения у них такие же. Это касается радиуса и диаметра, а периметром является латинская буква P.

Примеры заданий

Задача первая

Условие.
Узнать длину окружности, радиус которой равен 5 см.

Решение.
Здесь несложно понять, как рассчитать длину окружности. Нужно только воспользоваться первой формулой. Поскольку радиус известен, то потребуется только подставить значения и сосчитать. 2 умноженное на радиус, равный 5 см, даст 10. Осталось еще умножить его на значение π. 3,14 * 10 = 31,4 (см).

Ответ:
l = 31,4 см.

Задача вторая

Условие.
Имеется колесо, длина окружности которого известна и равна 1256 мм. Необходимо вычислить его радиус.

Решение.
В этом задании потребуется воспользоваться той же формулой. Но только известную длину нужно будет разделить на произведение 2 и π. Получается, что произведение даст результат: 6,28. После деления остается число: 200. Это искомая величина.

Ответ:
r = 200 мм.

Задача третья

Условие.
Вычислить диаметр, если известна длина окружности, которая равна 56,52 см.

Решение.
Аналогично предыдущей задаче потребуется разделить известную длину на значение π, округленное до сотых. В результате такого действия получается число 18. Результат получен.

Ответ:
d = 18 см.

Задача четвертая

Условие.
Стрелки часов имеют длину 3 и 5 см. Нужно вычислить длины окружностей, которые описывают их концы.

Решение.
Поскольку стрелки совпадают с радиусами окружностей, то потребуется первая формула. Ею нужно воспользоваться два раза.

Для первой длины произведение будет состоять из множителей: 2; 3,14 и 3. Итогом будет число 18,84 см.

Для второго ответа нужно перемножить 2, π и 5. Произведение даст число: 31,4 см.

Ответ:
l 1 = 18,84 см, l 2 = 31,4 см.

Задача пятая

Условие.
Белка бегает в колесе диаметром 2 м. Какое расстояние она пробегает за один полный оборот колеса?

Решение.
Это расстояние равно длине окружности. Поэтому нужно воспользоваться подходящей формулой. А именно перемножить значение π и 2 м. Подсчеты дают результат: 6,28 м.

Ответ:
Белка пробегает 6,28 м.

И в чем ее отличие от круга. Возьмите ручку или цвета и нарисуйте на листке бумаги обычный круг. Закрасьте всю середину полученной фигуры синим карандашом. Красный контур, обозначающий границы фигуры, — это окружность. А вот синее содержимое внутри нее — и есть круг.

Размеры круга и окружности определяются диаметром. На красной линии, обозначающей окружность, отметьте две точки таким образом, чтобы они оказались зеркальным отражением друг друга. Соедините их линией. Отрезок обязательно пройдет через точку в центре окружности. Этот отрезок, соединяющий противоположные части окружности, и называется в геометрии диаметром.

Отрезок, который тянется не через центр окружности, но смыкается с ней противоположными концами, называется хордой. Следовательно, хорда, пролегающая через точку центра окружности, и является ее диаметром.

Обозначается диаметр латинской буквой D. Находить диаметр окружности можно по таким значениям, как площадь, длина и радиус круга.

Расстояние от центральной точки до точки, отложенной на окружности, называется радиусом и обозначается буквой R. Знание величины радиуса помогает вычислить диаметр окружности одним несложным действием:

К примеру, радиус — 7 см. Умножаем 7 см на 2 и получаем величину, равную 14 см. Ответ: D заданной фигуры равен 14 см.

Иногда приходится определять диаметр окружности лишь по ее длине. Здесь необходимо применить специальную формулу, помогающую определить Формула L = 2 Пи * R, где 2 — это неизменная величина (константа), а Пи = 3,14. А так как известно, что R = D * 2, то формулу можно представить и другим способом

Данное выражение применимо и как формула диаметра окружности. Подставив известные в задаче величины, решаем уравнение с одним неизвестным. Допустим, длина равна 7 м. Следовательно:

• Ответ: диаметр равен 21,98 метрам.
• Если известно значение площади, то также можно определить диаметр окружности. Формула, которая применяется в данном случае, выглядит так:
• D = 2 * (S / Пи) * (1 / 2)

S — в данном случае Допустим, в задаче она равна 30 кв. м. Получаем:

1. D = 2 * (30 / 3, 14) * (1 / 2) D = 9, 55414
2. При обозначенной в задаче величине, равной объему (V) шара, применяется следующая формула нахождения диаметра: D = (6 V / Пи) * 1 / 3.
3. Иногда приходится находить диаметр окружности, вписанной в треугольник. Для этого по формуле находим радиус представленной окружности:
4. R = S / p (S — площадь заданного треугольника, а p — периметр, разделенный на 2).
5. Полученный результат увеличиваем вдвое, учитывая, что D = 2 * R.

Нередко находить диаметр окружности приходится и в быту. К примеру, при определении что равносильно его диаметру. Для этого необходимо обмотать палец потенциального обладателя кольца ниткой. Отметить точки соприкосновения двух концов. Измерить линейкой длину от точки до точки.

Полученное значение умножаем на 3,14, следуя формуле определения диаметра при известной длине. Так что, утверждение о том, что познания в геометрии и алгебре в жизни не пригодятся, не всегда соответствует действительности.

А это является серьезным поводом для того, чтобы более ответственно относиться к школьным предметам.

Очень часто при решении школьных заданий по или физике возникает вопрос — как найти длину окружности, зная диаметр? На самом деле никаких сложностей в решении этой проблемы нет, нужно только чётко представлять себе, какие формулы
, понятия и определения требуются для этого.

Источник: https://kofejnja.ru/kak-poschitat-dlinu-kruga-znaya-diametr-kak-rasschitat-dlinu-okruzhnosti-esli-ne.html

Длина окружности

Длина окружности. Число Пи Площадь круга Площадь сферы. Объём шара

Возьмем циркуль. Установим ножку циркуля с иглой в точку «O», а ножку циркуля с карандашом будем вращать вокруг этой точки. Таким образом, мы получим замкнутую линию. Такую замкнутую линию называют — окружность.

Рассмотрим более подробно окружность. Разберёмся, что называют центром, радиусом и диаметром окружности.

• (·)O — называется центром окружности.
• Отрезок, который соединяет центр и любую точку окружности, называется радиусом окружности. Радиус окружности обозначается буквой «R». На рисунке выше — это отрезок «OA».
• Отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр, называется диаметром окружности.Диаметр окружности обозначается буквой «D». На рисунке выше — это отрезок «BC».На рисунке также видно, что диаметр равен двум радиусам. Поэтому справедливо выражение «D = 2R».

Число π и длина окружности

Прежде чем разобраться, как считается длина окружности, необходимо выяснить, что такое число π (читается как «Пи»), которое так часто упоминают на уроках.

В далекие времена математики Древней Греции внимательно изучали окружность и пришли к выводу, что длина окружности и её диаметр взаимосвязаны.

Запомните!

Отношение длины окружности к её диаметру является одинаковым для всех окружностей и обозначается греческой буквой π («Пи»). π ≈ 3,14…

Теперь, зная, что такое число π, мы можем записать формулу длины окружности.

Запомните!

Длина окружности — это произведение числа π и диаметра окружности. Длина окружности обозначается буквой «С» (читается как «Це»). C = πD C = 2πR , так как D = 2R

Как найти длину окружности

Чтобы закрепить полученные знания, решим задачу на окружности.

Виленкин 6 класс. Номер 831

Условие задачи:

Найдите длину окружности, радиус которой равен 24 см. Число π округлите до сотых.

Воспользуемся формулой длины окружности:

C = 2πR ≈ 2 · 3,14 · 24 ≈ 150,72 см

• Разберем обратную задачу, когда мы знаем длину окружности, а нас просят найти её диаметр.
• Условие задачи:

Определите диаметр окружности, если её длина равна 56,52 дм. (π ≈ 3,14).

Выразим из формулы длины окружности диаметр.

C = πD D = С / π D = 56,52 / 3,14 = 18 дм

На рисунке ниже отметим на окружности две точки «A» и «B». Эти точки делят окружность на две части, каждую из которых называют дугой. Это синяя дуга «AB» и черная дуга «AB». Точки «A» и «B» называют концами дуг.

Соединим точки «A» и «B» отрезком. Полученный отрезок называют хордой.

Важно!

Точки «A» и «B» делят окружность на две дуги. Поэтому важно понимать, какую дугу вы имеете в виду, когда пишите дуга «AB».

Для того чтобы избежать путаницы, часто вводят дополнительную точку на нужной дуге и обращаются к ней по трем точкам.

Источник: http://math-prosto.ru/?page=pages%2Fcircle%2Fcircle_length_number_pi.php

Расчет радиуса формула. Как найти длину окружности: через диаметр и радиус

Класса учащиеся общеобразовательных школ в курсе изучают круг и окружность как геометрическую фигуру, и все, что с этой фигурой связано. Ребята знакомятся с такими понятиями, как радиус и диаметр, длина окружности или периметр , площадь круга.

Именно на этой теме они узнают про загадочное число Пи – это лудольфово число, как оно называлось раньше. Число Пи иррационально, так как его представление в виде десятичной дроби бесконечно. На практике используется его усеченный вариант из трех цифр: 3.14.

Эта константа выражает отношение длины любой окружности к ее диаметру. Шестиклассники решают задачи, выводя по одной данности и числа «Пи» остальные характеристики окружности и круга.

В тетрадях и на классной доске они в масштабе вычерчивают абстрактные сферы и производят мало что говорящие вычисления.

А на практике

На практике такая задача может возникнуть в ситуации, когда, например, возникает необходимость проложить трассу определенной протяженности для проведения каких-либо состязаний со стартом и финишем в одном месте.

Высчитав радиус, вы сможете на плане выбрать прохождение этой трассы, с циркулем в руке рассматривая варианты с учетом географических особенностей региона.

Перемещая ножку циркуля – равноудаленного центра от будущей трассы, можно уже на этом этапе предусмотреть, где на участках будут подъемы, где спуски, учитывая естественные перепады рельефа. Также сразу можно определиться и с участками, где лучше разместить трибуны для болельщиков.

Радиус из окружности

Итак, предположим, что вам для проведения соревнований по автокроссу необходима круговая трасса длиной 10 000 м. Вот нужная формула для определения радиуса (R) окружности при известной её длине (C): R=C/2п (п – число, равное 3.14).Подставив имеющиеся значения, вы легко получаете результат:

R = 10 000:3.14 = 3 184. 71 (м) или 3 км 184 м и 71 см.

От радиуса к площади

Зная радиус окружности, легко можно определить площадь, которая будет изъята из ландшафта. Формула площади круга (S): S=пR2При R = 3 184. 71 м она составит: S = 3.14 х 3 184. 71 х 3 184. 71 = 31 847 063 (кв. м) или почти 32 квадратных километров.

Подобные вычисления могут быть полезными при огораживании. Например, у вас имеется материал на ограду на столько-то . Взяв эту величину за периметр круга, вы легко определите его диаметр (радиус) и площадь, а, следовательно, зримо представите величину будущего огороженного участка.

Множество предметов в окружающем мире имеют круглую форму. Это колеса, круглые оконные проемы, трубы, различная посуда и многое другое. Подсчитать, чему равна длина окружности, можно, зная ее диаметр или радиус.

Существует несколько определений этой геометрической фигуры.

• Это замкнутая кривая, состоящая из точек, которые располагаются на одинаковом расстоянии от заданной точки.
• Это кривая, состоящая из точек А и В, являющихся концами отрезка, и всех точек, из которых А и В видны под прямым углом. При этом отрезок АВ – диаметр.
• Для того же отрезка АВ эта кривая включает все точки С, такие, что отношение АС/ВС неизменно и не равняется 1.
• Это кривая, состоящая из точек, для которых справедливо следующее: если сложить квадраты расстояний от одной точки до двух данных других точек А и В, получится постоянное число, большее 1/2 соединяющего А и В отрезка. Это определение выводится из теоремы Пифагора.

Обратите внимание!
Есть и другие определения. Круг – это область внутри окружности. Периметр круга и есть ее длина. По разным определениям круг может включать или не включать саму кривую, являющуюся его границей.

Определение окружности

Формулы

• Как вычислить длину окружности через радиус? Это делается по простой формуле:
• где L – искомая величина,
• π – число пи, примерно равное 3,1413926.

Обычно для нахождения нужной величины достаточно использовать π до второго знака, то есть 3,14, это обеспечит нужную точность.

На калькуляторах, в частности инженерных, может быть кнопка, которая автоматически вводит значение числа π.

Обозначения

Для нахождения через диаметр существует следующая формула:

Если L уже известно, можно легко узнать радиус или диаметр. Для этого L нужно поделить на 2π или на π соответственно.

Если уже дана круга, нужно понимать, как найти длину окружности по этим данным. Площадь круга равняется S = πR2. Отсюда находим радиус: R = √(S/π). Тогда

1. L = 2πR = 2π√(S/π) = 2√(Sπ).
2. Вычислить площадь через L также несложно: S = πR2 = π(L/(2π))2 = L2/(4π)
3. Резюмируя, можно сказать, что существует три основных формулы:

• через радиус – L = 2πR;
• через диаметр – L = πD;
• через площадь круга – L = 2√(Sπ).

Число пи

Без числа π решить рассматриваемую задачу не получится. Число π впервые и было найдено как отношение длины окружности к ее диаметру. Это сделали еще древние вавилоняне, египтяне и индийцы. Нашли они его довольно точно – их результаты отличались от известного сейчас значения π не больше, чем на 1%. Постоянную приближали такими дробями как 25/8, 256/81, 339/108.

Далее значение этой постоянной считали не только с позиции геометрии, но и с точки зрения математического анализа через суммы рядов. Обозначение этой константы греческой буквой π впервые использовал Уильям Джонс в 1706 году, а популярно оно стало после работ Эйлера.

Сейчас известно, что эта постоянная представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь, она иррациональна, то есть ее нельзя представить в виде отношения двух целых чисел. С помощью вычислений на суперкомпьютерах в 2011 году узнали 10-триллионный знак константы.

Это интересно!
Для запоминания нескольких первых знаков числа π были придуманы различные мнемонические правила. Некоторые позволяют хранить в памяти большое число цифр, например, одно французское стихотворение поможет запомнить пи до 126 знака.

У некоторых из них есть обе эти опции, другие вычисляют результат только через R. Некоторые калькуляторы могут рассчитать искомую величину с разной точностью, нужно указать число знаков после запятой.

Также с помощью онлайн-калькуляторов можно посчитать площадь круга.

Такие калькуляторы легко найти любым поисковиком. Также существуют мобильные приложения, которые помогут решить задачу, как найти длину окружности.

Источник: https://hopaclub.ru/laryngitis/raschet-radiusa-formula-kak-naiti-dlinu-okruzhnosti-cherez-diametr-i-radius/

Длина окружности

Окружностью называется ряд равноудалённых точек от одной точки, которая, в свою очередь, является центром этой окружности. Окружность имеет также свой радиус, равный расстоянию этих точек от центра.

Отношение длины, какой либо окружности к её диаметру, для всех окружностей одинаково. Это отношение есть число, являющееся математической константой, которое обозначается греческой буквой π.

Определение длины окружности

• Произвести расчёт окружности можно по следующей формуле:
• L = πD = 2πr
• r – радиус окружности
• D – диаметр окружности
• L – длина окружности
• π – 3.14

Задача:

Вычислить длину окружности, имеющей радиус 10 сантиметров.

Решение:

Формула для вычисления дины окружности имеет вид:

1. L = πD = 2πr
2. где L – длина окружности, π – 3,14, r – радиус окружности, D – диаметр окружности.
3. Таким образом, длина окружности, имеющей радиус 10 сантиметров равна:
4. L = 2 × 3,14 × 5 = 31,4 сантиметра

Окружность представляет собой геометрическую фигуру, являющуюся совокупностью всех точек на плоскости, удаленных от заданной точки, которая называется ее центром, на некоторое расстояние, не равное нулю и именуемое радиусом.

Определять ее длину с различной степенью точности ученые умели уже в глубокой древности: историки науки считают, что первая формула для вычисления длины окружности была составлена примерно в 1900 году до нашей эры в древнем Вавилоне.

С такими геометрическими фигурами, как окружности, мы сталкиваемся ежедневно и повсеместно. Именно ее форму имеет внешняя поверхность колес, которыми оснащаются различные транспортные средства.

Эта деталь, несмотря на свою внешнюю простоту и незатейливость, считаются одним из величайших изобретений человечества, причем интересно, что аборигены Австралии и американские индейцы вплоть до прихода европейцев совершенно не имели понятия о том, что это такое.

По всей вероятности, самые первые колеса представляли собой отрезки бревен, которые насаживались на ось. Постепенно конструкция колеса совершенствовалась, их конструкция становилась все более и более сложной, а для их изготовления требовалось использовать массу различных инструментов.

Сначала появились колеса, состоящие из деревянного обода и спиц, а затем, для того, чтобы уменьшить износ их внешней поверхности, ее стали обивать металлическими полосами.

Для того чтобы определить длины этих элементов, и требуется использовать формулу расчета длины окружности (хотя на практике, вероятнее всего, мастера это делали «на глаз» или просто опоясывая колесо полосой и отрезая требуемый ее участок).

Издавна колеса использовались в конструкциях водяных мельниц (самые древние из известных ученым сооружений такого рода строились в Месопотамии), а также прялок, применявшихся для изготовления нитей из шерсти животных и растительных волокон.

Окружности нередко можно встретить и в строительстве. Их форму имеют достаточно широко распространенные круглые окна, очень характерные для романского архитектурного стиля.

Изготовление этих конструкций – дело весьма непростое и требует высокого мастерства, а также наличия специального инструмента.

Одной из разновидностей круглых окон являются иллюминаторы, устанавливаемые в морских и воздушных судах.

Таким образом, решать задачу определения длины окружности часто приходится инженерам-конструкторам, разрабатывающим различные машины, механизмы и агрегаты, а также архитекторам и проектировщикам.

Поскольку число π, необходимое для этого, является бесконечным, то с абсолютной точностью определить этот параметр не представляется возможным, и поэтому при вычислениях учитывается та ее степень, которая в том или ином конкретном случае является необходимой и достаточной.

Источник: http://simple-math.ru/geometry/length-circle.php

Сегмент круга

Сегмент круга

• Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).
• На рисунке:
  L — длина дуги сегмента
  c — хорда
  R — радиус
  a — угол сегмента
  h — высота
• Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Длина хорды:
Высота сегмента: Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Однако, как справедливо заметил наш пользователь:«на практике часто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны» (см. длина дуги ). Для этого случая для расчета площади сегмента и длины дуги можно использовать следующий калькулятор:

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Калькулятор вычисляет радиус круга по длине хорды и высоте сегмента по следующей формуле:

Следующий калькулятор вычисляет площадь сегмента по высоте и радиусу:

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

1. Этот калькулятор вычисляет угол из высоты и радиуса по следующей формуле:

далее используется формула [1] для получения площади.

15 вычислений по сегменту круга в одной программе

Последний калькулятор включает в себя все оставшиеся вычисления параметров кругового сегмента:

• длина дуги
• угол
• хорда
• высота
• радиус
• площадь

Выберите два известных аргумента и калькулятор выдаст вам все оставшиеся.

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Источник: https://planetcalc.ru/1421/

Длина окружности и площадь круга

• Длина любой окружности больше своего диаметра в одно и то же число раз, а именно, приблизительно в 3,14 раза. Для обозначения этой величины используется маленькая (строчная) греческая буква π (пи):
• Таким образом, длину окружности (C) можно вычислить, умножив константу π на диаметр (D), или умножив π на удвоенный радиус, так как диаметр равен двум радиусам. Следовательно, формула длины окружности будет выглядеть так:
• C = πD = 2πR
• где C – длина окружности, π – константа, D – диаметр окружности, R – радиус окружности.
• Так как окружность является границей круга, то длину окружности можно также назвать длиной круга или периметром круга.

Задача 1.

Найти длину окружности, если её диаметр равен 5 см.

Так как длина окружности равна π умноженное на диаметр, то длина окружности с диаметром 5 см будет равна:

C ≈ 3,14 · 5 = 15,7 (см)

Задача 2. Найти длину окружности, радиус которой равен 3,5 м.

1. Сначала найдём диаметр окружности, умножив длину радиуса на 2:
2. D = 3,5 · 2 = 7 (м)
3. теперь найдём длину окружности, умножив π на диаметр:
4. C ≈ 3,14 · 7 = 21,98 (м)

Задача 3. Найти радиус окружности, длина которой равна 7,85 м.

Чтобы найти радиус окружности по её длине, надо длину окружности разделить на 2π

следовательно радиус будет равен:

R	≈	7,85	=	7,85	=  1,25 (м)
2 · 3,14	6,28

• Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга:
• S = πr2
• где S – площадь круга, а r – радиус круга.
• Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:
• следовательно, формула нахождения площади круга через диаметр будет выглядеть так:

S  =  π(	D	)2  =  π	D2	=  π	D2
2	22	4

Задачи на площадь круга

Задача 1. Найти площадь круга, если его радиус равен 2 см.

Так как площадь круга равна π умноженное на радиус в квадрате, то площадь круга с радиусом 2 см будет равна:

S ≈ 3,14 · 22 = 3,14 · 4 = 12,56 (см2)

Задача 2. Найти площадь круга, если его диаметр равен 7 см.

1. Сначала найдём радиус круга, разделив его диаметр на 2:
2. 7 : 2 = 3,5 (см)
3. теперь вычислим площадь круга по формуле:
4. S = πr2 ≈ 3,14 · 3,52 = 3,14 · 12,25 = 38,465 (см2)
5. Данную задачу можно решить и другим способом. Вместо того чтобы сначала находить радиус, можно воспользоваться формулой нахождения площади круга через диаметр:

S  =  π	D2	≈  3,14	72	=  3,14	49	=	153,86	=  38,465 (см2)
4	4	4	4

Задача 3. Найти радиус круга, если его площадь равна 12,56 м2.

• Чтобы найти радиус круга по его площади, надо площадь круга разделить π, а затем из полученного результата извлечь квадратный корень:
• r = √S : π
• следовательно радиус будет равен:
• r ≈ √12,56 : 3,14 = √4 = 2 (м)

Число π

Длину окружности предметов, окружающих нас, можно измерить с помощью сантиметровой ленты или верёвки (нитки), длину которой потом можно померить отдельно.

Но в некоторых случаях померить длину окружности трудно или практически невозможно, например, внутреннюю окружность бутылки или просто длину окружности начерченной на бумаге.

В таких случаях можно вычислить длину окружности, если известна длина её диаметра или радиуса.

Ведро	Таз	Бочка	Тарелка	Стакан
Окружность	91 см	157 см	220 см	78,5 см	23,9 см
Диаметр	29 см	50 см	70 см	25 см	7,6 см
Отношение (с точн. до 0,01)	3,14	3,14	3,14	3,14	3,14

Из этого можно сделать вывод, что отношение длины окружности к её диаметру это постоянная величина для каждой отдельной окружности и для всех окружностей в целом. Это отношение и обозначается буквой π.

Используя эти знания, можно по радиусу или диаметру окружности находить её длину. Например, для вычисления длины окружности с радиусом 3 см нужно умножить радиус на 2 (так мы получим диаметр), а полученный диаметр умножить на π. В итоге, с помощью числа π мы узнали, что длина окружности с радиусом 3 см равна 18,84 см.

Источник: https://naobumium.info/planimetriya/dlina_okruzhnosti.php