Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры

Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры

То, что стоит у нас в левой части, называется квадратным трёхчленом.

Справедлива теорема: Если   – корни квадратного трёхчлена, то справедливо тождество

Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры

Итак, мы имеем квадратное уравнение – квадратный трёхчлен, где корни квадратного уравнения также называются корнями квадратного трёхчлена. Поэтому если мы имеем корни квадратного трёхчлена, то этот трёхчлен раскладывается на линейные множители.

  • Доказательство:
  • Доказательство данного факта выполняется с помощью теоремы Виета, рассмотренной нами в предыдущих уроках.
  • Давайте вспомним, о чём говорит нам теорема Виета:
  • Если  – корни квадратного трёхчлена, у которого , то  .

Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры

Мы видим, что, по теореме Виета,   , т. е., подставив данные значения в формулу выше, мы получаем следующее выражение

Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры

что и требовалось доказать.

Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры

Теперь давайте вспомним пример квадратного уравнения  , к которому с помощью теоремы Виета мы подбирали корни . Из этого факта мы можем получить следующее равенство благодаря доказанной теореме:

Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры

Теперь давайте проверим правильность данного факта простым раскрытием скобок:

Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры

  1. Однако давайте проверим, для любого ли уравнения возможно такое разложение на множители:
  2. Возьмём, к примеру, уравнение . Для начала проверим знак дискриминанта
  3. , а мы помним, что для выполнения выученной нами теоремы D должен быть больше 0, поэтому в данном случае разложение на множители по изученной теореме невозможно.
  4. Поэтому сформулируем новую теорему: если квадратный трёхчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на линейные множители.
  5. Итак, мы рассмотрели теорему Виета, возможность разложения квадратного трёхчлена на линейные множители, и теперь решим несколько задач.
  6. Задача №1

В данной группе мы будем по факту решать задачу, обратную к поставленной. У нас было уравнение, и мы находили его корни, раскладывая на множители. Здесь мы будем действовать наоборот. Допустим, у нас есть корни квадратного уравнения 

  • Обратная задача такова: составьте квадратное уравнение, чтобы  были его корнями.
  • Для решения данной задачи существует 2 способа.
  • Способ 1

Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры

  1. Это был первый способ, по которому мы создали квадратное уравнение с заданными корнями, в котором нет каких-либо других корней, поскольку любое квадратное уравнение имеет не более двух корней.
  2. Способ 2
  3. Данный способ предполагает использование обратной теоремы Виета.
  4. Если  – корни уравнения, то они удовлетворяют условию, что  .

Для приведённого квадратного уравнения ,  , т. е. в данном случае , а .

  • Таким образом, мы создали квадратное уравнение, которое имеет заданные корни.
  • Задача №2
  • Необходимо сократить дробь   .

Мы имеем трёхчлен в числителе и трёхчлен в знаменателе, причём трёхчлены могут как раскладываться, так и не раскладываться на множители. Если же и числитель, и знаменатель раскладываются на множители, то среди них могут оказаться равные множители, которые можно сократить.

В первую очередь необходимо разложить на множители числитель  .

Вначале необходимо проверить, можно ли разложить данное уравнении на множители, найдём дискриминант  . Поскольку , то знак  зависит от произведения  ( должно быть меньше 0), в данном примере , т. е. заданное уравнение имеет корни.

Дальше разложим трёхчлен на множители , т. е. для решения нам необходимы корни  , для этого нам необходимо решить соответствующее квадратное уравнение:

  1. Для решения используем теорему Виета:

В данном случае, поскольку мы имеем дело с корнями, то просто подобрать корни будет довольно сложно. Но мы видим, что коэффициенты уравновешены, т. е. если предположить, что  , и подставить это значение в уравнение, то получается следующая система:  , т. е. 5-5=0. Таким образом, мы подобрали один из корней данного квадратного уравнения.

Второй корень мы будем искать методом подставления уже известного  в систему уравнений, к примеру,  , т.е. .

  • Таким образом, мы нашли оба корня квадратного уравнения и можем подставить их значения в исходное уравнение, чтобы разложить его на множители:
  • Вспомним изначальную задачу, нам необходимо было сократить дробь   .
  • Попробуем решить поставленную задачу, подставив вместо числителя  .

, необходимо не забыть, что при этом знаменатель не может равняться 0, т. е. , .

  1. Если данные условия будут выполняться, то мы сократили исходную дробь до вида .
  2. Задача №3 (задача с параметром)
  3. При каких значениях параметра сумма корней квадратного уравнения
  4.  равна 0?
  5. Если корни данного уравнения существуют, то  , вопрос: когда  .
  6. Для того чтобы найти значения p, нам необходимо решить следующее уравнение

 . Однако не забудьте, что записать необходимые значения p мы можем не просто после решения данного уравнения, поскольку они должны как минимум существовать, это значит, что должно выполняться неравенство .

Попробуем сразу подобрать первый корень уравнения  по теореме Виета:

, отсюда видно, что , для того чтобы проверить правильность корней, проверяем их по теореме Виета:  . Мы определили, что  или , поэтому эти цифры становятся для нас подозрительными, т. е. теми, что могут удовлетворять нашему условию.

  • Проверим, что  подходит для нас, поскольку , такая система может существовать, поэтому из второго уравнения получаем следующее: .
  • Таким же образом проверим : , где мы сразу видим, что  не имеет корней, таким образом даём ответ на поставленный вопрос: При значении параметра , сумма корней квадратного уравнения равна 0.
  • Итак, мы вспомнили теорему Виета и рассмотрели тему «Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители» с её помощью, а также выяснили, что следующее применение теоремы Виета это вычисление всех выражений, которые зависят от суммы и произведения корней.
  • Список литературы
  1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
  3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

  1. Разложите квадратные трёхчлены на множители: а) ; б) ; в) .
  2. Сократите дроби: а)  ; б)  ; в)  ;
  3. №534, №538, №543 Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/8-klass/kvadratnye-uravneniya-prodolzhenie/razlozhenie-kvadratnogo-tryohchlena-na-mnozhiteli?trainers

Разложение квадратного многочлена на множители формулы. Как разложить квадратный трёхчлен на множители

Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax^2+bx+c, где х – переменная, a, b и с – некоторые числа, причем а не равно нулю. Собственно, первое что нам нужно знать, чтобы разложить злополучный трехчлен на множители – теорема.

Выглядит она следующим образом: “Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ax^2+bx+c, то ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)”.

Конечно, существует и доказательство этой теоремы, но оно требует некоторых теоретических знаний (при вынесении за скобки в многочлене ax^2+bx+c множителя а получаем ax^2+bx+c=a(x^2+(b/a)x + c/a). По теореме Виетта x1+x2=-(b/a), х1*х2=с/а, следовательно b/a=-(x1+x2), с/а=х1*х2.

значит, x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)-x2(x-x1)= (x-x1)(x-x2). значит, ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) . Иногда учителя заставляют учить доказательство, но если оно не востребовано, советую просто запомнить итоговую формулу.

2 шаг

Возьмем как пример трехчлен 3x^2-24x+21. Первое, что нам нужно сделать – приравнять трехчлен к нулю: 3x^2-24x+21=0. Корни полученного квадратного уравнения и будут корнями трехчлена, соответственно.

3 шаг

Решим уравнение 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Итак, решаем. Кто не знает как решать квадратные уравнения, смотрите в мою инструкцию с 2-мя способами их решения на примере этого же уравнения. Получились корни х1=7, х2=1.

4 шаг

Теперь, когда у нас есть корни трехчлена, можно смело подставлять их в формулу =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) получаем:3x^2-24x+21=3(х-7)(х-1) Можно избавиться от члена а, внеся его в скобки: 3x^2-24x+21=(х-7)(х*3-1*3)

в итоге получаем: 3x^2-24x+21=(х-7)(3х-3). Примечание: каждый из полученных множителей ((х-7), (3х-3) являются многочленами первой степени. Вот и все разложение =) Если сомневаетесь в полученном ответе, всегда можно его проверить, перемножив скобки.

5 шаг

Проверка решения. 3x^2-24x+21=3(х-7)(х-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Теперь мы точно знаем, что наше решение верно! Надеюсь, моя инструкция кому-нибудь поможет =) Удачи в учебе!

  • В нашем случае в уравнении D >0 и мы получили по 2 корня. Если бы было D
  • Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени.

Мир погружён в огромное количество чисел. Любые исчисления происходят с их помощью.

Люди учат цифры для того, чтобы в дальнейшей жизни не попадаться на обман. Необходимо уделять огромное количество времени, чтобы быть образованным и рассчитать собственный бюджет.

Математика — это точная наука, которая играет большую роль в жизни. В школе дети изучают цифры, а после, действия над ними.

Действия над числами бывают совершенно разными: умножение, разложение, добавление и прочие. Помимо простых формул, в изучении математики используют и более сложные действия. Существует огромное количество формул, по которым узнают любые значения.

В школе, как только появляется алгебра, в жизнь школьника добавляются формулы упрощения. Бывают уравнения, когда неизвестных числа два, но найти простым способом не получится. Трёхчлен — соединение трёх одночленов, с помощью простого метода отнимания и добавления. Трёхчлен решается с помощью теоремы Виета и дискриминанта.

Формула разложения квадратного трёхчлена на множители

Существуют два правильных и простых решения примера
:

  • дискриминант;
  • теорема Виета.

Квадратный трёхчлен имеет неизвестный в квадрате, а также число без квадрата. Первый вариант для решения задачи использует формулу Виета. Это простая формула
, если цифры, что стоят перед неизвестным, будут минимальным значением.

Для других уравнений, где число стоит перед неизвестным, уравнение необходимо решать через дискриминант. Это более сложное решение, но используют дискриминант намного чаще, нежели теорему Виета.

Изначально, для нахождения всех переменных уравнения необходимо возвести пример к 0. Решение примера можно будет проверить и узнать правильно ли подстроены числа.

Дискриминант

1. Необходимо приравнять уравнение к 0.

Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры

2. Каждое число перед х будет названо числами a, b, c. Так как перед первым квадратным х нет числа, то оно приравнивается к 1.

Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры

3. Теперь решение уравнения начинается через дискриминант:

Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры

4. Теперь нашли дискриминант и находим два х. Разница заключается в том, что в одном случае перед b будет стоять плюс, а в другом минус:

Читайте также:  Фразеологизм белая ворона: значение, история и происхождение выражения, особенности понятия

Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры

5. По решению два числа получилось -2 и -1. Подставляем под первоначальное уравнение:

Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры

6. В этом примере получилось два правильных варианта. Если оба решения подходят, то каждое из них является истинным.

Через дискриминант решают и более сложные уравнение. Но если само значение дискриминанта будет меньше 0, то пример неправильный. Дискриминант при поиске всегда под корнем, а отрицательное значение не может находиться в корне.

Теорема Виета

Применяется для решения лёгких задач, где перед первым х не стоит число, то есть a=1. Если вариант совпадает, то расчёт проводят через теорему Виета.

Для решения любого трёхчлена
необходимо возвести уравнение к 0. Первые шаги у дискриминанта и теоремы Виета не отличаются.

Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры

2. Теперь между двумя способами начинаются отличия. Теорема Виета использует не только «сухой» расчёт, но и логику и интуицию. Каждое число имеет свою букву a, b, c. Теорема использует сумму и произведение двух чисел.

Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры

Запомните! Число b всегда при добавлении стоит с противоположным знаком, а число с остаётся неизменным!

Подставляя значения данные в примере,
получаем:

Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры

3. Методом логики подставляем наиболее подходящие цифры. Рассмотрим все варианты решения:

  1. Цифры 1 и 2. При добавлении получаем 3, но если умножить, то не получится 4. Не подходит.
  2. Значение 2 и -2. При умножении будет -4, но при добавлении получается 0. Не подходит.
  3. Цифры 4 и -1. Так как в умножении стоит отрицательное значение, значит, одно из чисел будет с минусом. При добавлении и умножении подходит. Правильный вариант.

4. Остаётся только проверить, раскладывая числа, и посмотреть правильность подобранного варианта.

5. Благодаря онлайн-проверке мы узнали, что -1 не подходит по условию примера, а значит является неправильным решением.

При добавлении отрицательного значения в примере, необходимо цифру заносить в скобки.

В математике всегда будут простые задачи и сложные. Сама наука включает в себя разнообразие задач, теорем и формул. Если понимать и правильно применять знания, то любые сложности с вычислениями будут пустяковыми.

Математика не нуждается в постоянном запоминании. Нужно научится понимать решение и выучить несколько формул. Постепенно, по логическим выводам, можно решать похожие задачи, уравнения. Такая наука может с первого взгляда показаться очень тяжёлой, но если окунутся в мир чисел и задач, то взгляд резко изменится в лучшую сторону.

Технические специальности
всегда остаются самыми востребованными в мире. Сейчас, в мире современных технологий, математика стала незаменимым атрибутом любой сферы. Нужно всегда помнить о полезных свойствах математики.

Разложение трёхчлена с помощью скобки

Кроме решения привычными способами, существует ещё один — разложение на скобки. Используют с применением формулы Виета.

1. Приравниваем уравнение к 0.

ax
2 + bx+ c
= 0

2. Корни уравнения остаются такими же, но вместо нуля теперь используют формулы разложения на скобки.

  • ax
    2 + bx+ c = a
    ( x – x
    1) ( x – x
    2)
  • 2 x
    2 – 4 x
    – 6 = 2 ( x
    + 1) ( x
    – 3)
  • 4. Решение х=-1, х=3

Разложение многочленов для получения произведения иногда кажется запутанным. Но это не так сложно, если разобраться в процессе пошагово. В статье подробно рассказано, как разложить на множители квадратный трехчлен.

Многим непонятно, как разложить на множители квадратный трехчлен, и для чего это делается. Сначала может показаться, что это бесполезное занятие. Но в математике ничего не делается просто так. Преобразование нужно для упрощения выражения и удобства вычисления.

Многочлен, имеющий вид – ax²+bx+c,
называется квадратным трехчленом.
Слагаемое «a» должно быть отрицательным или положительным. На практике это выражение называется квадратным уравнением. Поэтому иногда говорят и по-другому: как разложить квадратное уравнение.

Интересно!
Квадратным многочлен называют из-за самой его большой степени – квадрата. А трехчленом — из-за 3-х составных слагаемых.

Некоторые другие виды многочленов:

  • линейный двучлен (6x+8);
  • кубический четырехчлен (x³+4x²-2x+9).

Разложение квадратного трехчлена на множители

Сначала выражение приравнивается к нулю, затем нужно найти значения корней x1 и x2. Корней может не быть, может быть один или два корня. Наличие корней определяется по дискриминанту. Его формулу надо знать наизусть: D=b²-4ac.

Если результат D получается отрицательный, корней нет. Если положительный – корня два. Если в результате получился ноль – корень один. Корни тоже высчитываются по формуле.

Если при вычислении дискриминанта получается ноль, можно применять любую из формул. На практике формула просто сокращается: -b / 2a.

Формулы для разных значений дискриминанта различаются.

Если D положительный:

Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры

Если D равен нулю:

Онлайн калькуляторы

В интернете есть онлайн калькулятор. С его помощью можно выполнить разложение на множители. На некоторых ресурсах предоставляется возможность посмотреть решение пошагово. Такие сервисы помогают лучше понять тему, но нужно постараться хорошо вникнуть.

Источник: https://ayunova.ru/razlozhenie-kvadratnogo-mnogochlena-na-mnozhiteli-formuly-kak.html

Примеры разложения многочленов на множители

Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры

Приводится 8 примеров разложения многочленов на множители. Они включают в себя примеры с решением квадратных и биквадратных уравнений, примеры с возвратными многочленами и примеры с нахождением целых корней у многочленов третьей и четвертой степени.

Разложить многочлен на множители: x4 + x3 – 6×2.

Решение

Выносим x2 за скобки: . Решаем квадратное уравнение x2 + x – 6 = 0: . Корни уравнения:

  • ,   .
  • Отсюда получаем разложение многочлена на множители: .
  • Ответ
  • .

Пример 1.2

Разложить на множители многочлен третьей степени: x3 + 6×2 + 9x.

Решение

Выносим x за скобки: . Решаем квадратное уравнение x2 + 6x + 9 = 0: Его дискриминант:   . Поскольку дискриминант равен нулю, то корни уравнения кратные: ; .

  1. Отсюда получаем разложение многочлена на множители: .
  2. Ответ
  3. .

Пример 1.3

Разложить на множители многочлен пятой степени: x5 – 2×4 + 10×3.

Решение

Выносим x3 за скобки: . Решаем квадратное уравнение x2 – 2x + 10 = 0. Его дискриминант:   . Поскольку дискриминант меньше нуля, то корни уравнения комплексные: ; ,   .

  • Разложение многочлена на множители имеет вид: .
  • Если нас интересует разложение на множители с действительными коэффициентами, то: .
  • Ответ
  • .

Примеры разложения многочленов на множители с помощью формул

Примеры с биквадратными многочленами

Пример 2.1

Разложить биквадратный многочлен на множители: x4 +x2 – 20.

Решение

Применим формулы: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2; a2 – b2 = (a – b)(a + b). ; .

Ответ

.

Пример 2.2

  1. Разложить на множители многочлен, сводящийся к биквадратному: x8 +x4 + 1.
  2. Решение
  3. Применим формулы: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2; a2 – b2 = (a – b)(a + b): ; ; .
  4. Ответ
  5. .

Пример 2.3 с возвратным многочленом

Разложить на множители возвратный многочлен: .

Решение

Возвратный многочлен имеет нечетную степень. Поэтому он имеет корень x = –1. Делим многочлен на x – (–1) = x + 1. В результате получаем: . Делаем подстановку:

,   ;

; ; .

  • Ответ
  • .

Примеры разложения многочленов на множители с целыми корнями

Пример 3.1

Разложить многочлен на множители: .

Решение

Предположим, что уравнение имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 6 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел: –6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6. Подставляем поочередно эти значения:

(–6)3 – 6·(–6)2 + 11·(–6) – 6 = –504;

(–3)3 – 6·(–3)2 + 11·(–3) – 6 = –120; (–2)3 – 6·(–2)2 + 11·(–2) – 6 = –60; (–1)3 – 6·(–1)2 + 11·(–1) – 6 = –24; 13 – 6·12 + 11·1 – 6 = 0; 23 – 6·22 + 11·2 – 6 = 0; 33 – 6·32 + 11·3 – 6 = 0; 63 – 6·62 + 11·6 – 6 = 60.

Итак, мы нашли три корня: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3. Поскольку исходный многочлен – третьей степени, то он имеет не более трех корней. Поскольку мы нашли три корня, то они простые. Тогда

  1. .
  2. Ответ
  3. .

Пример 3.2

Разложить многочлен на множители: .

Решение

Предположим, что уравнение имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел: –2, –1, 1, 2. Подставляем поочередно эти значения:

(–2)4 + 2·(–2)3 + 3·(–2)3 + 4·(–2) + 2 = 6;

(–1)4 + 2·(–1)3 + 3·(–1)3 + 4·(–1) + 2 = 0; 14 + 2·13 + 3·13 + 4·1 + 2 = 12; 24 + 2·23 + 3·23 + 4·2 + 2 = 54.

  • Итак, мы нашли один корень: x1 = –1. Делим многочлен на x – x1 = x – (–1) = x + 1: Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры Тогда,
  • .

Теперь нужно решить уравнение третьей степени: . Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел: 1, 2, –1, –2. Подставим x = –1: .

Итак, мы нашли еще один корень x2 = –1. Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен     на   , но мы сгруппируем члены: .

  1. Поскольку уравнение x 2 + 2 = 0 не имеет действительных корней, то разложение многочлена на множители имеет вид: .
  2. Ответ
  3. .

Источник: https://1cov-edu.ru/mat_analiz/integrali/neopredelennie/ratsionalnye/razlozhenie_mnogochlenov/primery/

Разложение многочлена на множители

Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.

Теория

Теорема 1

Когда любой многочлен со степенью n, имеющие вид Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , представляют в виде произведения с постоянным множителем со старшей степенью an и n линейных множителей (x-xi) , i=1, 2, …, n, тогда Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)·…·(x-x1) , где xi , i=1, 2, …, n – это и есть корни многочлена.

Теорема предназначена для корней комплексного типа xi ,i=1, 2, …, n и для комплексных коэффициентов ak ,k=0, 1, 2, …, n. Это и есть основа любого разложения.

Когда коэффициенты вида ak, k=0, 1, 2, …, n являются действительными числами, тогда комплексные корни, которые будут встречаться сопряженными парами.

Например, корни x1  и x2 , относящиеся к многочлену вида Pnx=anxn+an-1xn-1+…

+a1x+a0  считаются комплексно сопряженным, тогда другие корни являются действительными, отсюда получаем, что многочлен примет вид Pn(x)=an(x-xn)(x-xn-1)·…·(x-x3)x2+px+q , где x2+px+q=(x-x1)(x-x2).

Замечание

Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.

Основная теорема алгебры

Теорема 2

Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.

Теорема Безу

После того, как произвели деление многочлена вида Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0  на (x-s), тогда получаем остаток, который равен многочлену в точке s, тогда получим

Читайте также:  Иван сергеевич тургенева: краткая биография, жизнь и творчество

Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-s)·Qn-1(x)+Pn(s) , где Qn-1(x)  является многочленом со степенью n-1.

Следствие из теоремы Безу

Когда корень многочлена Pn(x) считается s, тогда Pnx=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x-s)·Qn-1(x) . Данное следствие является достаточным при употреблении для описания решения.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен вида ax2+bx+c  можно разложить на линейные множители. тогда получим, что ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), где x1 и x2  — это корни (комплексные или действительные).

Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.

Пример 1

Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.

Решение

Необходимо найти корни уравнения 4×2-5x+1=0 . Для этого необходимо найти значение дискриминанта по формуле, тогда получим D=(-5)2-4·4·1=9 . Отсюда имеем, что

  • x1=5-92·4=14×2=5+92·4=1
  • Отсюда получаем, что 4×2-5x+1=4x-14x-1.
  • Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:
  • 4x-14x-1=4×2-x-14x+14=4×2-5x+1

После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.

Пример 2

  1. Произвести разложение на множители квадратный трехчлен вида 3×2-7x-11.
  2. Решение
  3. Получим, что необходимо вычислить получившееся квадратное уравнение вида 3×2-7x-11=0.
  4. Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что
  5. 3×2-7x-11=0D=(-7)2-4·3·(-11)=181×1=7+D2·3=7+1816×2=7-D2·3=7-1816
  6. Отсюда получаем, что 3×2-7x-11=3x-7+1816x-7-1816 .

Пример 3

  • Произвести разложение многочлена 2×2+1  на множители.
  • Решение
  • Теперь нужно решить квадратное уравнение 2×2+1=0 и найти его корни. Получим, что
  • 2×2+1=0x2=-12×1=-12=12·ix2=-12=-12·i
  • Эти корни называют комплексно сопряженными, значит само разложение можно изобразить как 2×2+1=2x-12·ix+12·i .

Пример 4

  1. Произвести разложение квадратного трехчлена x2+13x+1.
  2. Решение
  3. Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x2+13x+1=0  и найти его корни.
  4. x2+13x+1=0D=132-4·1·1=-359×1=-13+D2·1=-13+353·i2=-1+35·i6=-16+356·ix2=-13-D2·1=-13-353·i2=-1-35·i6=-16-356·i
  5. Получив корни, запишем
  6. x2+13x+1=x—16+356·ix—16-356·i==x+16-356·ix+16+356·i
  7. Замечание

Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.

Способы разложения на множители многочлена степени выше второй

При разложении предполагается универсальный метод. Большинство всех случаев основано на следствии из теоремы Безу. Для этого необходимо подбирать значение корня x1 и понизить его степень при помощи деления на многочлена на 1 делением на (x-x1) . Полученный многочлен нуждается  в нахождении корня x2 , причем процесс поиска цикличен до тех пор, пока не получим полное разложение.

Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями  и целыми коэффициентами.

Вынесение общего множителя за скобки

Рассмотрим случай, когда свободный член равняется нулю, тогда вид многочлена становится как Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x.

Видно, что корень такого многочлена будет равняться x1=0 , тогда можно представить многочлен в виде выражения Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x==x(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)

Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.

Пример 5

  • Выполнить разложение многочлена третьей степени 4×3+8×2-x  на множители.
  • Решение
  • Видим, что x1=0  — это корень заданного многочлена, тогда можно произвести вынесение х за скобки всего выражения. Получаем:
  • 4×3+8×2-x=x(4×2+8x-1)
  • Переходим к нахождению корней квадратного трехчлена 4×2+8x-1 .  Найдем дискриминант и корни:
  • D=82-4·4·(-1)=80×1=-8+D2·4=-1+52×2=-8-D2·4=-1-52
  • Тогда следует, что
  • 4×3+8×2-x=x4x2+8x-1==4xx—1+52x—1-52==4xx+1-52x+1+52

Разложение на множители многочлена с рациональными корнями

Для начала примем за рассмотрение способ разложения, содержащий целые коэффициенты вида Pn(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0 , где коэффициента при старшей степени равняется 1.

Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.

Пример 6

Произвести разложение выражения f(x)=x4+3×3-x2-9x-18 .

Решение

Рассмотрим, имеются ли целые корни. Необходимо выписать делители числа -18. Получим, что ±1,±2,±3,±6,±9,±18. Отсюда следует, что данный многочлен имеет целые корни. Можно провести проверку по схеме Горнера. Она очень удобная и позволяет быстро получить  коэффициенты разложения многочлена:

xi Коэффициенты многочленов
1 3 -1 -9 -18
1 1 3+1·1=4 -1+4·1=3 -9+3·1=-6 -18+(-6)·1=-24
-1 1 3+1·(-1)=2 -1+2·(-1)=-3 -9+(-3)·(-1)=-6 -18+(-6)·(-1)=-12
2 1 3+1·2=5 -1+5·2=9 -9+9·2=9 -18+9·2=0
2 1 5+1·2=7 9+7·2=23 9+23·2=55
-2 1 5+1·(-2)=3 9+3·(-2)=3 9+3·(-2)=3
3 1 5+1·3=8 9+8·3=33 9+33·3=108
-3 1 5+1·(-3)=2 9+2·(-3)=3 9+3·(-3)=0
  1. Отсюда следует, что х=2 и х=-3 – это корни исходного многочлена, который можно представить как произведение вида:
  2. f(x)=x4+3×3-x2-9x-18=(x-2)(x3+5×2+9x+9)==(x-2)(x+3)(x2+2x+3)
  3. Переходим к разложению квадратного трехчлена вида x2+2x+3.
  4. Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.
  5. Ответ: f(x)=x4+3×3-x2-9x-18=(x-2)(x+3)(x2+2x+3)
  6. Замечание

Допускается использование подбором корня и деление многочлена на многочлен вместо схемы Горнера. Перейдем к рассмотрению разложения многочлена, содержащим целые коэффициенты вида Pn(x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0, старший из которых на равняется единице.

Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.

Пример 7

Произвести разложение на множители f(x)=2×3+19×2+41x+15.

Решение

Необходимо выполнить замену переменной y=2x, следует переходить  к многочлену с коэффициентами равными 1 при старшей степени. Необходимо начать с умножения выражения на 4. Получаем, что

  • 4f(x)=23·x3+19·22·x2+82·2·x+60==y3+19y2+82y+60=g(y)
  • Когда получившаяся функция  вида g(y)=y3+19y2+82y+60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:
  • ±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±12,±15,±20,±30,±60
  • Перейдем  к вычислению функции g(y) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль. Получаем, что
  • g(1)=13+19·12+82·1+60=162g(-1)=(-1)3+19·(-1)2+82·(-1)+60=-4g(2)=23+19·22+82·2+60=308g(-2)=(-2)3+19·(-2)2+82·(-2)+60=-36g(3)=33+19·32+82·3+60=504g(-3)=(-3)3+19·(-3)2+82·(-3)+60=-42g(4)=43+19·42+82·4+60=756g(-4)=(-4)3+19·(-4)2+82·(-4)+60=-28g(5)=53+19·52+82·5+60=1070g(-5)=(-5)3+19·(-5)2+82·(-5)+60
  • Получаем, что у=-5 – это корень уравнения вида y3+19y2+82y+60, значит, x=y2=-52 — это корень исходной функции.

Пример 8

  1. Необходимо произвести деление столбиком 2×3+19×2+41x+15  на x+52 . 
  2. Решение
  3. Запишем и получим:

Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры

Значит,

2×3+19×2+41x+15=x+52(2×2+14x+6)==2x+52(x2+7x+3)

Проверка делителей займет много времени, поэтому выгодней предпринять разложение на множители полученного квадратного трехчлена вида x2+7x+3. Приравниванием к нулю и находим дискриминант.

  • x2+7x+3=0D=72-4·1·3=37×1=-7+372×2=-7-372⇒x2+7x+3=x+72-372x+72+372
  • Отсюда следует, что
  • 2×3+19×2+41x+15=2x+52×2+7x+3==2x+52x+72-372x+72+372

Искусственные приемы при  разложении многочлена на множители

Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.

Способ группировки

Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.

Пример 9

Произвести разложение многочлена x4+4×3-x2-8x-2 на множители.

Решение

Потому как коэффициенты – целые числа, тогда корни предположительно тоже могут быть целыми. Для проверки возьмем значения 1, -1, 2 и -2 для того, чтобы вычислить значение многочлена в этих точках. Получаем, что

  1. 14+4·13-12-8·1-2=-6≠0(-1)4+4·(-1)3-(-1)2-8·(-1)-2=2≠024+4·23-22-8·2-2=26≠0(-2)4+4·(-2)3-(-2)2-8·(-2)-2=-6≠0
  2. Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.
  3. Необходимо провести группировку:
  4. x4+4×3-x2-8x-2=x4+4×3-2×2+x2-8x-2==(x4-2×2)+(4×3-8x)+x2-2==x2(x2-2)+4x(x2-2)+x2-2==(x2-2)(x2+4x+1)

После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что

  • x2-2=0x2=2×1=2×2=-2⇒x2-2=x-2x+2×2+4x+1=0D=42-4·1·1=12×1=-4-D2·1=-2-3×2=-4-D2·1=-2-3⇒x2+4x+1=x+2-3x+2+3
  • Значит:
  • x4+4×3-x2-8x-2=x2-2×2+4x+1==x-2x+2x+2-3x+2+3
  • Замечание

Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.

Пример 10

Произвести разложение на множители многочлен x4+3×3-x2-4x+2 .

Решение

Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что

  1. x4+3×3-x2-4x+2==(x4+x3)+(2×3+2×2)+(-2×2-2x)-x2-2x+2==x2(x2+x)+2x(x2+x)-2(x2+x)-(x2+2x-2)==(x2+x)(x2+2x-2)-(x2+2x-2)=(x2+x-1)(x2+2x-2)
  2. После разложения на множители получим, что
  3. x4+3×3-x2-4x+2=x2+x-1×2+2x-2==x+1+3x+1-3x+12+52x+12-52

Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители

Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.

Пример 11

  • Произвести разложение многочлена x4+4×3+6×2+4x-2  на множители.
  • Решение
  • Необходимо выполнить преобразование выражения к виду
  • x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3
  • На последовательность коэффициентов суммы в скобках указывает выражение x+14.
  • Значит, имеем x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3.
  • После применения разности квадратов, получим
  • x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3==x+14-3=x+12-3x+12+3

Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида

x4+4×3+6×2+4x-2=x4+4×3+6×2+4x+1-3=x+14-3==x+14-3=x+12-3x+12+3==x+1-34x+1+34×2+2x+1+3

Пример 12

  1. Произвести разложение на множители x3+6×2+12x+6.
  2. Решение
  3. Займемся преобразованием выражения. Получаем, что
  4. x3+6×2+12x+6=x3+3·2·x2+3·22·x+23-2=(x+2)3-2
  5. Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:
  6. x3+6×2+12x+6==(x+2)3-2==x+2-23x+22+23x+2+43==x+2-23×2+x2+23+4+223+43

Способ замены переменной при разложении многочлена на множители

При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.

Пример 13

  • Произвести разложение на множители многочлена вида x6+5×3+6.
  • Решение
  • По условию видно, что необходимо произвести замену y=x3 . Получаем:
  • x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6
  • Корни полученного квадратного уравнения равны y=-2 и y=-3, тогда
  • x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6==y+2y+3=x3+2×3+3
  • Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:
  • x6+5×3+6=y=x3=y2+5y+6==y+2y+3=x3+2×3+3==x+23×2-23x+43x+33×2-33x+93
  • То есть получили искомое разложение.
  • Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении  и разложении многочлена на множители разными способами.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/razlozhenie-mnogochlena-na-mnozhiteli/

Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен – это многочлен вида (ax^2+bx+c)   ((a≠0))

Пример:

(x^2-2x+1) (3x^2-5x+6)

Почему его называют именно так? Потому что, наибольшая степень у него – квадрат, а состоит он из трех слагаемых (одночленов). Вот и получается – квадратный трехчлен.

Как правильно разложить квадратный трёхчлен, формулы разложения множителей, уравнения и примеры

Примеры не квадратных трехчленов:

(x^3-3x^2-5x+6) — кубический четырёхчлен (2x+1) — линейный двучлен

Значение переменной (x), при котором квадратный трехчлен обращается в ноль, называют его корнем

  • Пример: У трехчлена (x^2-2x+1) корень (1), потому что (1^2-2·1+1=0)
  • У трехчлена (x^2+2x-3) корни (1) и (-3), потому что (1^2+2-3=0) и ((-3)^2-6-3=9-9=0)
  • Например:  если нужно найти корни для квадратного трехчлена (x^2-2x+1), приравняем его к нулю и решим уравнение (x^2-2x+1=0).
  • (D=4-4cdot1=0) (x=frac{2-0}{2}=frac{2}{2}=1)

Готово. Корень равен (1).

Квадратный трехчлен (ax^2+bx+c) можно разложить как (a(x-x_1 )(x-x_2)), если дискриминант уравнения (ax^2+bx+c=0) больше нуля (x_1) и (x_2) — корни того же уравнения)

Например, рассмотрим трехчлен (3x^2+13x-10). У квадратного уравнения (3x^2+13x-10=0) дискриминант равен 289 (больше нуля), а корни равны (-5) и (frac{2}{3}). Поэтому (3x^2+13x-10=3(x+5)(x-frac{2}{3})). В верности этого утверждения легко убедится – если мы раскроем скобки, то получим исходный трехчлен.

Квадратный трехчлен (ax^2+bx+c) можно представить как (a(x-x_1)^2), если дискриминант уравнения (ax^2+bx+c=0) равен нулю

Например, рассмотрим трехчлен (x^2+6x+9). У квадратного уравнения (x^2+6x+9=0) дискриминант равен (0), а единственный корень равен (-3). Значит, (x^2+6x+9=(x+3)^2) (здесь коэффициент (a=1), поэтому перед скобкой не пишется – незачем). Обратите внимание, что тоже самое преобразование можно сделать и по формулам сокращенного умножения.

Квадратный трехчлен (ax^2+bx+c) не раскладывается на множители, если дискриминант уравнения (ax^2+bx+c=0) меньше нуля.

Например, у трехчленов (x^2+x+4) и (-5x^2+2x-1) – дискриминант меньше нуля. Поэтому разложить их на множители невозможно.

Пример. Разложите на множители (2x^2-11x+12). Решение: Найдем корни квадратного уравнения (2x^2-11x+12=0)

  1. (D=11^2-4 cdot 2 cdot 12=121-96=25>0) (x_1=frac{11-5}{4}=1,5;) (x_2=frac{11+5}{4}=4.)
  2. Значит, (2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)) Ответ: (2(x-1,5)(x-4))
  3. Полученный ответ, может быть, записать по-другому: ((2x-3)(x-4)).

Пример. (Задание из ОГЭ) Квадратный трехчлен разложен на множители (5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)). Найдите (a). Решение: (5x^2+33x+40=0) (D=33^2-4 cdot 5 cdot 40=1089-800=289=17^2) (x_1=frac{-33-17}{10}=-5) (x_2=frac{-33+17}{10}=-1,6) (5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6))

  • Ответ: (-1,6)

Источник: http://cos-cos.ru/math/133/

Калькулятор онлайн. Выделение квадрата двучлена и разложение на множители квадратного трехчлена

Эта математическая программа выделяет квадрат двучлена из квадратного трехчлена, т.е. делает преобразование вида: ( ax^2+bx+c
ightarrow a(x+p)^2+q ) и раскладывает на множители квадратный трехчлен: ( ax^2+bx+c
ightarrow a(x+n)(x+m) )

Читайте также:  Австралия: животный мир, интересные факты, уникальные животные с названиями и описанием

Т.е. задачи сводятся к нахождению чисел ( p, q ) и ( n, m )

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.

А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного трехчлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода квадратного многочлена В качестве переменной может выступать любая латинсая буква. Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д. Числа можно вводить целые или дробные. Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

  • Правила ввода десятичных дробей.
  • Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2
  • Правила ввода обыкновенных дробей.
  • При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /

В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой. В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число. Знаменатель не может быть отрицательным. Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: & Ввод: 3&1/3 — 5&6/5x +1/7x^2 Результат: ( 3frac{1}{3} — 5frac{6}{5} x + frac{1}{7}x^2 )

При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении введённое выражение сначала упрощается.

Например: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2) Пример подробного решения Выделение квадрата двучлена. $$ ax^2+bx+c
ightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 cdot 2 cdotleft( frac{1}{2}
ight)cdot x+2 cdot left( frac{1}{2}
ight)^2-frac{9}{2} = $$ $$2left( x^2 + 2 cdotleft( frac{1}{2}
ight)cdot x + left( frac{1}{2}
ight)^2
ight)-frac{9}{2} = $$ $$2left( x+frac{1}{2}
ight)^2-frac{9}{2} $$ Ответ: $$2x^2+2x-4 = 2left( x+frac{1}{2}
ight)^2-frac{9}{2} $$ Разложение на множители. $$ ax^2+bx+c
ightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$ 2left( x^2+x-2
ight) = $$

$$ 2 left( x^2+2x-1x-1 cdot 2
ight) = $$

$$ 2 left( x left( x +2
ight) -1 left( x +2
ight)
ight) = $$ $$ 2 left( x -1
ight) left( x +2
ight) $$ Ответ: $$2x^2+2x-4 = 2 left( x -1
ight) left( x +2
ight) $$ Решить Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать. Возможно у вас включен AdBlock.

В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь. Через несколько секунд решение появится ниже.

Пожалуйста подождите  сек…

Наши игры, головоломки, эмуляторы: Создание островаЭмуляторгравитацииГоловоломка «SumWaves»Игра «msForex»

  1. Если квадратный трехчлен aх2+bx+c представлен в виде a(х+p)2+q, где p и q — действительные числа, то говорят, что из квадратного трехчлена выделен квадрат двучлена.
  2. Покажем на примере как это преобразование делается.
  3. Выделим из трехчлена 2×2+12x+14 квадрат двучлена.

Вынесем за скобки коэффициент a, т.е. 2: ( 2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) )

Преобразуем выражение в скобках. Для этого представим 6х в виде произведения 2*3*х, а затем прибавим и вычтем 32. Получим: $$ 2(x^2+2 cdot 3 cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Т.о. мы выделили квадрат двучлена из квадратного трехчлена, и показоли, что: $$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

  • Если квадратный трехчлен aх2+bx+c представлен в виде a(х+n)(x+m), где n и m — действительные числа, то говорят, что выполнена операция разложения на множители квадратного трехчлена.
  • Покажем на примере как это преобразование делается.
  • Разложим квадратный трехчлен 2×2+4x-6 на множители.

Вынесем за скобки коэффициент a, т.е. 2: ( 2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) )

Преобразуем выражение в скобках. Для этого представим 2х в виде разности 3x-1x, а -3 в виде -1*3. Получим: $$ = 2(x^2+3 cdot x -1 cdot x -1 cdot 3 ) = 2(x(x+3)-1 cdot (x+3) ) = $$

$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Т.о. мы разложили на множители квадратный трехчлен, и показоли, что: $$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Заметим, что разложение на множители квадратного трехчлена возможно только тогда, когда, квадратное уравнение, соответсвующее этому трехчлену имеет корни. Т.е.

в нашем случае разложить на множители трехчлен 2×2+4x-6 возможно, если квадратное уравнение 2×2+4x-6 =0 имеет корни. В процессе разложения на множители мы установили, что уравнение 2×2+4x-6 =0 имеет два корня 1 и -3, т.к.

при этих значениях уравнение 2(x-1)(x+3)=0 обращается в верное равенство.

Источник: https://www.math-solution.ru/math-task/quadr-to-mul

Разложение квадратного трехчлена на множители с помощью теоремы Виета

Разложение квадратного трехчлена на множители может пригодится при решении неравенств из задачи С3 или задачи с параметром С5. Так же многие текстовые задачи B13 решатся значительно быстрее, если вы владеете теоремой Виета.

Эту теорему, конечно, можно рассматривать с позиций 8-го класса, в котором она впервые проходится. Но наша задача — хорошо подготовиться к ЕГЭ и научиться решать задания экзамена максимально эффективно. Поэтому в этом уроке рассмотрен подход немного отличный от школьного.

Формулу корней уравнения по теореме Виета знают (или хотя бы видели) многие:

$$x_1+x_2 = -frac{b}{a}, quad x_1 · x_2 = frac{c}{a},$$

где `a, b` и `c` — коэффициенты квадратного трехчлена `ax^2+bx+c`.

Чтобы научиться легко пользоваться теоремой, давайте поймем, откуда она берется (так будет реально легче запомнить).

Пусть перед нами есть уравнение `ax^2+ bx+ с = 0`. Для дальнейшего удобства разделим его на `a` получим `x^2+frac{b}{a} x + frac{c}{a} = 0`. Такое уравнение называется приведенным квадратным уравнением.

Важная мысль урока: любой квадратный многочлен, у которого есть корни, можно разложить на скобки. Предположим, что наш можно представить в виде `x^2+frac{b}{a} x + frac{c}{a} = (x + k)(x+l)`, где `k` и `l` — некоторые константы.

Посмотрим, как раскроются скобки:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Таким образом, `k+l = frac{b}{a}, kl = frac{c}{a}`.

Это немного отличается от классической трактовки теоремы Виета — в ней мы ищем корни уравнения. Я же предлагаю искать слагаемые для разложения на скобки — так не нужно помнить про минус из формулы (имеется в виду `x_1+x_2 = -frac{b}{a}`). Достаточно подобрать два таких числа, сумма которых равна среднему коэффициенту, а произведение — свободному члену.

Если нам нужно решение именно уравнения, то оно очевидно: корни `x=-k`или `x=-l` (так как в этих случаях одна из скобок занулится, значит, будет равно нулю и все выражение).

На примере покажу алгоритм, как раскладывать квадратный многочлен на скобки.

Пример первый. Алгоритм разложения квадратного трехчлена на множители

Путь у нас есть квадртаный трехчлен `x^2+5x+4`.

Он приведенный (коэффициент у `x^2` равен единице). Корни у него есть. (Для верности можно прикинуть дискриминант и убедиться, что он больше нуля.)

Дальнейшие шаги (их нужно выучить, выполнив все тренировочные задания):

  1. Выполнить следующую запись: $$x^2+5x+4=(x ldots)(x ldots).$$ Вместо точек оставьте свободное место, туда будем дописывать подходящие числа и знаки.
  2. Рассмотреть все возможные варианты, как можно разложить число `4` на произведение двух чисел. Получим пары «кандидатов» на корни уравнения: `2, 2` и `1, 4`.
  3. Прикинуть, из какой пары можно получить средний коэффициент. Очевидно, что это `1, 4`.
  4. Записать $$x^2+5x+4=(x quad 4)(x quad 1)$$.
  5. Следующий этап — расставить знаки перед вставленными числами.Как понять и навсегда запомнить, какие знаки должны быть перед числами в скобках? Попробуйте раскрыть их (скобки). Коэффициент перед `x` в первой степени будет `(± 4 ± 1)` (пока что знаков мы не знаем — нужно выбрать), и он должен равняться `5`. Очевидно, что здесь будут два плюса $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.

    Выполните эту операцию несколько раз (привет, тренировочные задания!) и больше проблем с этим не будет никогда.

Если нужно решить уравнение `x^2+5x+4`, то теперь его решение не составит труда. Его корни: `-4, -1`.

Пример второй. Разложение на множители квадратного трехчлена с коэффициентами различных знаков

Пусть нам нужно решить уравнение `x^2-x-2=0`. Навскидку дискриминант положительный.

Идем по алгоритму.

  1. $$x^2-x-2=(x ldots ) (x ldots).$$
  2. Разложение двойки на целые множители есть только одно: `2 · 1`.
  3. Пропускаем пункт — выбирать не из чего.
  4. $$x^2-x-2=(x quad 2) (x quad 1).$$
  5. Произведение наших чисел отрицательное (`-2` — свободный член), значит, одно из них будет отрицательное, а другое — положительное. Поскольку их сумма равна `-1` (коэффициент при `x`), то отрицательным будет `2` (интуитивное объяснение — двойка большее из двух чисел, оно сильнее «перетянет» в отрицательную сторону). Получим $$x^2-x-2=(x — 2) (x + 1).$$

Третий пример. Разложение квадратного трехчлена на множители

Уравнение `x^2+5x -84 = 0`.

  1. $$x+ 5x-84=(x ldots ) (x ldots).$$
  2. Разложение 84 на целые множители: `4· 21, 6· 14, 12· 7, 2·42`.
  3. Поскольку нам нужно, чтобы разница (или сумма) чисел равнялась 5, то нам подойдет пара `7, 12`.
  4. $$x+ 5x-84=(xquad 12) (x  quad 7).$$
  5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x  — 7).$$

Надеюсь, разложение этого квадратного трехчлена на скобки понятно.

Если нужно решение уравнения, то вот оно: `12, -7`.

Задания для тренировки

Предлагаю вашему вниманию несколько примеров, которые легко решаются с помощью теоремы Виета. (Примеры взяты из журнала «Математика», 2002.)

  1. `x^2+x-2=0`
  2. `x^2-x-2=0`
  3. `x^2+x-6=0`
  4. `x^2-x-6=0`
  5. `x^2+x-12=0`
  6. `x^2-x-12=0`
  7. `x^2+x-20=0`
  8. `x^2-x-20=0`
  9. `x^2+x-42=0`
  10. `x^2-x-42=0`
  11. `x^2+x-56=0`
  12. `x^2-x-56=0`
  13. `x^2+x-72=0`
  14. `x^2-x-72=0`
  15. `x^2+x-110=0`
  16. `x^2-x-110=0`
  17. `x^2+x-420=0`
  18. `x^2-x-420=0`

Спустя пару лет после написания статьи появился сборник из 150 заданий для разложения квадратного многочлена по теореме Виета.

  • Скачать сборник заданий по теореме Виета.

Ставьте лайки и задавайте вопросы в х!

Источник: http://xn--e1aajtm3cwc.xn--c1adb6aplz9c.xn--p1ai/matematika/poleznye-fishki/razlozhenie-kvadratnogo-trekhchlena-na-mnozhiteli-s-pomoshchyu-teoremy-vieta

Ссылка на основную публикацию