Биссектриса треугольника: свойства, формула, как вычислять

Перейти к содержанию Формула 1 Формула 2 Формула 3 Формула 4

Биссектриса угла треугольника равна корню квадратному из произведения сторон, образующих этот угол минус произведение отрезков, на которые биссектриса делит сторону треугольника.

Формула биссектрисы треугольника

Рассмотрим треугольник АВС. обозначим стороны следующим образом: AB=c, BC = a. Проведем в нем биссектрису ВК угла В, которую обозначим lb.

Докажем, что биссектриса равна:

Вывод формулы биссектрисы треугольника. Шаг 1

Опишем вокруг треугольника окружность.

Вывод формулы биссектрисы треугольника. Шаг 2

Продолжим биссектрису ВК до пересечения с окружностью. Точку пересечения обозначим Н.

Вывод формулы биссектрисы треугольника. Шаг 3

• Рассмотрим треугольники АВК и ВНС:
• ∠А = ∠Н – как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду а;
• ∠АВК = ∠НВС – так как ВК – биссектриса по условию;
• Δ АВК ~ Δ ВНС – по двум углам.
• Из подобия треугольников следует:

Отсюда:

По построению:

По свойству отрезков пересекающихся хорд:

Отсюда:

Вывод формулы биссектрисы треугольника. Шаг 4

1. Итак, имеем:
2. Подставим (3) в (2), а (2) в (1):
3. Раскроем скобки:
4. Формула биссектрисы треугольника выведена.

Вывод формулы биссектрисы треугольника. Шаг 5

Go to Top

Этот сайт использует файлы cookies для более комфортной работы пользователя. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием  файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация , пожалуйста, посетите страницу Политика Конфиденциальности Принять

Privacy & Cookies Policy

Источник: https://mathvox.ru/geometria/treugolniki/treugolniki-glava-8/bissektrisa-treugolnika-formula-1/

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник — урок. Геометрия, 7 класс

Перпендикуляр от точки к прямой

Отрезок (AC) называется перпендикуляром, проведённым из точки (A) прямой (a), если прямые (AC) и (a) перпендикулярны.

Точка (C) называется основанием перпендикуляра.

От точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. 

  

• Докажем, что от точки (A), не лежащей на прямой (BC), можно провести перпендикуляр к этой прямой.
• Допустим, что дан угол ∡ABC.
• Отложим от луча (BC) угол, равный данному, и совместим эти углы накладыванием (представим, что сложим лист бумаги с равными углами по стороне (BC)).
• Сторона (BA) совместится со стороной BA1.
• При этом точка (A) наложится на некоторую точку A1.
• Следовательно, совмещается угол ∡ACB с ∡A1CB.
• Но углы ∡ACB и ∡A1CB — смежные, значит, каждый из них прямой.
• Прямая AA1 перпендикулярна прямой (BC), а отрезок (AC) является перпендикуляром от точки (A) к прямой (BC).

Если допустить, что через точку (A) можно провести ещё один перпендикуляр к прямой (BC), то он бы находился на прямой, пересекающейся с AA1. Но две к одной и той же прямой перпендикулярные прямые должны быть параллельны и не могут пересекаться.

Это противоречие, что означает: через данную точку к прямой можно провести только один перпендикуляр.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Поэтому для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:1. найти середину стороны;

2. соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком — это и будет медиана.

У треугольника три стороны, следовательно, можно построить три медианы.

Все медианы пересекаются в одной точке.

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Поэтому для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:1.

построить биссектрису какого-либо угла треугольника (биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части);2.

найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;

3. соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком — это и будет биссектриса треугольника.

У треугольника три угла и три биссектрисы.

Все биссектрисы пересекаются в одной точке.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Поэтому для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:1.

провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);2.

из вершины, лежащей напротив проведённой прямой, опустить перпендикуляр к ней (перпендикуляр — это отрезок, проведённый из точки к прямой, составляющей с ней угол 90°) — это и будет высота.

Так же как медианы и биссектрисы, треугольник имеет три высоты.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Но, как выше упомянуто, для некоторых видов треугольников построение высот и точки их пересечения отличаются. 

Если треугольник с прямым углом, то стороны, образующие прямой угол, можно назвать высотами, так как они перпендикулярны одна к другой. Точкой пересечения высот является общая вершина перпендикулярных сторон.

Если треугольник с тупым углом, то высоты, опущенные с вершин острых углов, выходят вне треугольника к продолжениям сторон. Прямые, на которых расположены высоты, пересекаются вне треугольника.

Обрати внимание!

Если из одной и той же вершины провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана окажется самым длинным отрезком, а высота — самим коротким отрезком.

Равнобедренный треугольник

Если у треугольника две стороны равны, то такой треугольник называют равнобедренным.

Равные стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием.

(AB = BC) — боковые стороны , (AC) — основание.

Если у треугольника все три стороны равны, то такой треугольник является равносторонним.

Равнобедренный треугольник имеет некоторые свойства, которые не имеют треугольники с разными сторонами.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.

4. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является биссектрисой и медианой.

Первое и второе свойство можно доказать, если докажем равенство двух треугольников, которые образуются, когда к углу напротив основания провести биссектрису (BD).

Рассмотрим равнобедренный треугольник (ABC) с основанием (AC) и докажем, что ΔABD=ΔCBD.

Пусть (BD) — биссектриса треугольника (ABC). ΔABD=ΔCBD по первому признаку равенства треугольников ((AB = BC) по условию, (BD) — общая сторона, ∡ABD=∡CBD, так как (BD) — биссектриса).

У равных треугольников равны все соответствующие элементы:

1. ∡A=∡C — доказано, что прилежащие основанию углы равны.

2. (AD = DC) — доказано, что биссектриса является медианой.

3. ∡ADB=∡CDB — так как смежные углы, сумма которых 180°, равны, то каждый из них равен 90°, то есть медиана является высотой.

Можно очень легко самостоятельно доказать и третье, и четвёртое свойства.

Источник: https://www.yaklass.ru/p/geometria/7-klass/treugolniki-9112/mediany-bissektrisy-i-vysoty-treugolnika-9481/re-56c524c8-9727-48db-9926-95988d203d40

Контент / ГЕОМЕТРИЯ / Треугольники — Я знаю!

• Треугольники.
• Основные понятия.
• Треугольник – это фигура, состоящая из трех отрезков и трех точек, не лежащих на одной прямой.
• Отрезки называются сторонами, а точки – вершинами.
• Сумма углов треугольника равна 180º.

Любая сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон, но больше их разности. a – b < c < a + b

Высота треугольника.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины  к противолежащей стороне.

В остроугольном треугольнике высота содержится внутри треугольника (рис.1).

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами треугольника (рис.2).

В тупоугольном треугольнике высота проходит вне треугольника (рис.3).

Свойства высоты треугольника:

1) Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром (рис.4). 2) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному. 3) В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

Биссектриса треугольника.

Биссектриса треугольника – это отрезок, который делит угол вершины пополам и соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне (рис.5).

Свойства биссектрисы:

1) Биссектриса внутреннего угла делит противолежащую сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон (рис.6). 2) Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник (рис.7). 3) Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник – равнобедренный (рис.8).

Медиана треугольника.

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (рис.9а).

Длину медианы можно вычислить по формуле:                                                                       2b2 + 2c2 – a2                                                             ma2 = ——————                                                                                 4 где ma – медиана, проведенная к стороне а. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы:                                                                                       c                                                                             mc = —                                                                                       2 где mc – медиана, проведенная к гипотенузе c (рис.9в) Медианы треугольника пересекаются в одной точке (в центре масс треугольника) и делятся этой точкой в соотношении 2:1, отсчитывая от вершины. То есть отрезок от вершины к центру в два раза больше отрезка от центра к стороне треугольника (рис.9с). Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.

Средняя линия треугольника.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон (рис.10).

• Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине
• 
• Внешний угол треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних углов (рис.11).

Внешний угол треугольника больше любого несмежного угла.

Прямоугольный треугольник.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого есть прямой угол (рис.12).

1. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.
2. Две другие стороны называются катетами.
3. 
4. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

1) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла, образует три подобных треугольника: ABC, ACH и HCB (рис.14а). Соответственно, углы, образуемые высотой, равны углам А и В. 

• Рис.14а
• 
• Равнобедренный треугольник.

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны (рис.13).

Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья – основанием треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. (В нашем треугольнике угол А равен углу C).

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно и биссектрисой, и высотой треугольника.

Равносторонний треугольник.

Свойства равностороннего треугольника:

1) все углы равны 60º; 2) медианы, биссектрисы и высоты совпадают; 3) медианы, биссектрисы и высоты соединяют вершины с серединами противолежащих сторон.

Замечательные свойства треугольников.

У треугольников есть оригинальные свойства, которые помогут вам успешно решать задачи, связанные с этими фигурами. Некоторые из этих свойств изложены выше. Но повторяем их еще раз, добавив к ним несколько других замечательных особенностей:

1) В прямоугольном треугольнике с углами 90º, 30º и 60º катет b, лежащий напротив угла в 30º, равен половине гипотенузы. А катет  a больше катета b в √3 раз (рис.15а). К примеру, если катет b равен 5, то гипотенуза c обязательно равна 10, а катет а равен 5√3. 2) В прямоугольном равнобедренном треугольнике с углами 90º, 45º и 45º гипотенуза в √2 раз больше катета (рис.15b). К примеру, если катеты равны 5, то гипотенуза равна 5√2. 3) Средняя линия треугольника равна половине параллельной стороны (рис.15с). К примеру, если сторона треугольника равна 10, то параллельная ей средняя линия равна 5. 4) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы (рис.9в): mc =  с/2. 5) Медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делятся этой точкой в соотношении 2:1. То есть отрезок от вершины к точке пересечения медиан в два раза больше отрезка от точки пересечения медиан к стороне треугольника (рис.9c) 6) В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружности (рис.15d).

• 
• Признаки равенства треугольников.
• Первый признак равенства: если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
• Второй признак равенства: если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
• Третий признак равенства: если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
• Неравенство треугольника.
• В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
• Теорема Пифагора.
• В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
• c2 = a2 + b2.
• Площадь треугольника.
• 1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
•          ah S = ——          2
• 2) Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними:
•        1 S = — AB · AC · sin A         2
• Треугольник, описанный около окружности.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон (рис.16а).

1) В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. 2) Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис этого треугольника (рис.16b). 3) Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра:                                                                                 S                                                                 r = ———————                                                                          (a + b + c) : 2

Треугольник, вписанный в окружность.

Треугольник называется вписанным в окружность, если он касается ее всеми вершинами (рис.17a).

1) Вокруг любого треугольника можно описать окружность. 2) Если от середины каждой из сторон треугольника провести перпендикуляры, то точка их пересечения будет центром окружности, описанной около этого треугольника (рис.17b). 3) У прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы (рис.15d). 4) Сторона любого вписанного треугольника равна произведению диаметра описанной окружности и синуса противолежащего угла.

Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника (рис.18).

Синус острого угла x прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.  Обозначается так: sin x.

Косинус острого угла x прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Обозначается так: cos x.

Тангенс острого угла x – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Обозначается так: tg x.

Котангенс острого угла x – это отношение прилежащего катета к противолежащему. Обозначается так: ctg x.

1. 
2. Правила:
3. Катет, противолежащий углу x, равен произведению гипотенузы на sin x:
4. b = c · sin x
5. Катет, прилежащий к углу x, равен произведению гипотенузы на cos x:
6. a = c · cos x
7. Катет, противоположный углу x, равен произведению второго катета на tg x:
8. b = a · tg x
9. Катет, прилежащий к углу x, равен произведению второго катета на ctg x:
10. a = b · ctg x.
11. Для любого острого угла x:
12. sin (90° – x) = cos x
13. cos (90° – x) = sin x

Источник: http://test1.czl23.ru/plugins/content/content.php?content.338

Биссектриса треугольника

Справочник по математике

Геометрия (Планиметрия)

Треугольники

      Напомним, что биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.

      Определение. Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне (рис 1).

• Рис.1
•       Поскольку в каждом треугольнике имеются три угла, то в каждом треугольнике можно провести три биссектрисы.
•       На рисунке 1 биссектрисой является отрезок AD.

      Теорема 1. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

      Доказательство. Продолжим сторону AC треугольника ABC, изображенного на рисунке 1, за точку A. Проведем через точку B прямую, параллельную биссектрисе AD. Обозначим точку пересечения построенных прямых буквой E (рис. 2).

Рис.2

      Докажем, что отрезки AB и AE равны. Для этого заметим, что угол EBA равен углу BAD, поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых EB и AD.

Заметим также, что угол BEA равен углу DAC, поскольку эти углы являются соответственными при параллельных прямых EB и AD.

Таким образом, угол EBA равен углу BEA, откуда вытекает, что треугольник EAB является равнобедренным, и отрезки AB и AE равны.

      Отсюда, воспользовавшись теоремой Фалеса, получаем:

что и требовалось доказать.

      Следствие 1. Рассмотрим рисунок 3, на котором изображен тот же треугольник, как и на рисунке 1, но для длин отрезков использованы обозначения

1. Рис.3
2. b = |AC|,   a = |BC|,   c = |AB|,   p = |BD|,   q = |DC|.
3.       Тогда

•       Доказательство. Поскольку
• то

что и требовалось доказать.

      Следствие 2. Рассмотрим рисунок 4, на котором изображены две биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке O.

1. Рис.4
2.       Тогда справедлива формула:
3.       Доказательство. Поскольку
4. то

что и требовалось доказать.

      Замечание. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

      Теорема 2. Рассмотрим рисунок 5, который практически совпадает с рисунком 2.

• Рис.5
•       Тогда для длины биссектрисы справедлива формула:
•       Доказательство. Из рисунка 5 следует формула
• |EB| = 2c cos α .
•       Если воспользоваться этой формулой, то из подобия треугольников ADC и EBC, получаем:

что и требовалось доказать.

      Теорема 3. Длину биссектрисы треугольника (рис.6) можно найти по формуле:

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 6

1. Рис.6
2. и воспользуемся теоремой косинусов:
3.       Теперь воспользуемся формулой «Косинус двойного угла»:

•       Следовательно,
• откуда с помощью Теоремы 2 получаем:

что и требовалось доказать.

      Задача. Из вершины C треугольника ABC (рис.7) проведена биссектриса CD и высотаCE.

1. Рис.7
2. Доказать, что выполнено равенство:
3.       Решение. Поскольку CD – биссектриса угла ACB, то

•       Поскольку CE – высота, то
•       Следовательно,

1. что и требовалось доказать.
2.       Из решения этой задачи вытекает простое следствие.
3.       Следствие. Длины биссектрисы CD и высоты CE связаны следующей формулой:

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/bisector.htm

Биссектриса — свойства, признаки и формулы

Базовым понятием и одним из наиболее интересных и полезных объектов школьной математики является биссектриса. С её помощью доказываются многие положения планиметрии, упрощается решение задач. 

Известные свойства позволяют рассматривать геометрические фигуры с разных точек зрения. Появляется вариативность при выборе пути доказательств. 

Становится возможным использование инструмента алгебры, например, свойство пропорции, нахождение неизвестных величин, решение алгебраических уравнений при рассмотрении геометрических вопросов.

Что такое биссектриса в геометрии

Рассматривают луч, выходящий из вершины угла или его часть (отрезок), который делит угол пополам. Такой луч (или, соответственно, отрезок) называется биссектрисой.

Часто для треугольников определение немного сужают, говоря об отрезке, соединяющем вершину угла, делящем его пополам, с точкой на противолежащей стороне. При этом рассматривается внутренняя область фигуры.

В то же время, часто при решении задач используются прямые, делящие внешние углы на два равных.

Биссектриса прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника одна из биссектрис образует равные углы, величины которых хорошо просчитываются (45 градусов). 

• Это помогает вычислять углы при решении задач, связанных с фигурами, которые можно представить в виде прямоугольных треугольников или прямоугольников.

В тупоугольном треугольнике биссектриса делит больший угол на равные части, величина которых меньше 900.

Свойства биссектрисы треугольника

1. Каждая точка этой линии равноудалена от сторон угла. Часто эту характеристику выбирают в качестве определения, поскольку верно и обратное утверждение для любого произвольного треугольника. Это позволяет находить и радиус вписанной окружности.

2. Все внутренние отрезки, делящие углы пополам, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в фигуру, т. е. точка пересечения находится на равных расстояниях от сторон. 

1. Данное свойство позволяет решать целый класс разнообразных задач, выводить формулы для радиусов вписанных окружностей правильных многоугольников.
2. Благодаря этому утверждению, легко доказывается следующее правило:
3. Площадь описанного многоугольника равна:
4. S = p∗r
5. где p – полупериметр, а r – радиус вписанной окружности.
6. Это позволяет находить решение не только планиметрических, но и стереометрических задач.
7. Важную роль играют внешние биссектрисы треугольника. Вместе с внутренними они образуют прямые углы;

3. Сумма величин двух прилежащих сторон, делённая на длину противолежащей стороны, задаёт отношение частей биссектрисы (считая от вершины), полученных точкой пересечения всех трёх соответствующих линий.

Некоторые виды геометрических фигур, в силу своих особенностей, порождают особые примечательные характеристики;

4. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является медианой и высотой. Две другие – равны между собой.

• В этом случае основание параллельно внешней биссектрисе.
• Обратное положение также имеет место. Если прямая проведена параллельно основанию равнобедренного треугольника через некоторую вершину, то внешняя биссектриса при этой вершине является частью этой линии;
• 5. Для равностороннего многоугольника важной характеристикой считается равенство всех биссектрис;
• 6. У правильного треугольника все внешние биссектрисы параллельны сторонам;
• 7. Выделяют несколько особенностей, среди которых есть следующая теорема:
• «Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам».

Обратное утверждение («Прямая делит сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам») выражает признаки того, что рассматриваемая линия является внутренней биссектрисой;

8. Разносторонний треугольник позволяет определить взаимное расположение его высоты, медианы и биссектрисы, проведённых из одной точки. В частности, медиана и высота располагаются по разные стороны от третьей линии.

Все формулы биссектрисы в треугольнике

В зависимости от исходных данных, длина биссектрисы, проведённой к стороне C, lc, равна:

Примеры решения задач

Задача №1

В ΔABC ∠C = 90°, проведена биссектриса острого угла. Отрезок, соединяющий её основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найти углы заданной фигуры.

Решение.

Источник: https://nauka.club/matematika/geometriya/bissektrisa.html

Формулы, теоремы и свойства элементов треугольника. Справочник репетитора по математике

Теоретичесикие шпаргалки по элементарной геометрии для занятий с репетитором по математике. Базовый школьный уровень. Свойства элементов треугольника. В помощь для решению задач по всему курсу планиметрии. Для тренировки решения задач С4 на ЕГЭ по математике.

1) Определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике и теорема Пифагора

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть

2) Формулы площади треугольника

• 3) Подобие треугольников
• Определение: два треугольника называются подобными, если у них соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны, то есть
  и
• Обозначение:
• 4) Признаки подобия двух треугольников
• 1-й признак: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
• Коротко: если , то
• 2-й признак:если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами равны, то треугольники подобны
• Коротко: если и , то
• 3-й признак:если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то треугольники подобны, то есть
• Коротко: если , то
• 5) Свойства подобных треугольников
• если , то
• , где
• и  — любые соответствующие медианы (проведенные к соответствующим сторонам)
• и  — любые соответствующие биссектрисы (проведенные к соответствующим сторонам)
• и  — любые соответствующие высоты (проведенные к соответствующим сторонам)
• 6) Подобие прямоугольных треугольников. Высота, проведенная из вершины прямого угла
• Теорема: высота в прямоугольном треугольнике, поведенная из вершины прямого угла образует два треугольника, подобных исходному. Для катетов и высоты исходного треугольника верны следующие формулы:
• 7) Свойство медиан в треугольнике.
• Теорема 1: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершин. То есть
• Теорема 2: Каждая медиана, проведенная в треугольнике делит этот треугольник на две равновеликие части (на два треугольника с равными площадями),
• То есть
• Теорема 3: все три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников, то есть
• 8) Свойство биссектрис в треугольнике
  Теорема 1: Каждая биссектриса угла в треугольнике делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные к двум другим сторонам треугольника.
• То есть

Теорема 2: Все биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной с треугольник окружности. В любой треугольник можно вписать окружность и только одну.

9) Свойство точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника:

Теорема: все серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной около треугольника окружности. Вокруг любого треугольника можно описать окружность и только одну.

1. 10) Теорема о разделительном отрезке в треугольнике

   Теорема: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной делит ее на отрезки, пропорциональные площадям образованных треугольников.

2. То есть
3. 11) Средняя линия треугольника
4. Теорема: Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон параллельна третьей стороне и равна ее половине.
5. То есть и
6. 12) Теорема синусов и теорема косинусов
7. Теорема синусов: Cтороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и каждое отношение стороны к синусу равно диаметру описанной около треугольника окружности.
8. То есть
9. Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равне сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на синус угла между ними, то есть
10. 13) Теорема Менелая

    Теорема: Произведение отношений отрезков, на которые произвольная прямая делит стороны треугольника (или их продолжения) равно единице

11. То есть

Комментарий репетитора по математике: несправедливо выброшенная теорема из школьного курса геометрии. Рекомендую репетиторам включить ее в подготовку, по крайней мере к вузовским олимпиадам и вступительным экзаменам по математике в МГУ. В программу ЕГЭ теорема Менелая не входит, но несколько типов задач без нее решаются очень сложно.

• 14) Теорема Чевы
• Теорема:если через вершины треугольника и произвольную внутреннюю точку провести отрезки к противоположным сторонам (чевианы), то их точки пересечения разделят стороны на отрезки, произведение отношений которых равно единице.
• То есть

Колпаков А.Н. Репетитор по математике.

Источник: https://ankolpakov.ru/2010/09/30/formuly-teoremy-i-svojstva-elementov-treugolnika-spravochnik-repetitora-po-matematike/

Свойства биссектрисы треугольника

• Слайд 1
• Слайд 2
• Свойство биссектрисы: В треугольнике биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
• Слайд 3
• Биссектриса внешнего угла Биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение его стороны в точке, расстояния от которой до концов этой стороны пропорциональны соответственно прилежащим сторонам треугольника. C B A D
• Слайд 4
• Формулы длины биссектрисы:
• Слайд 5
• Формула нахождения длин отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника
• Слайд 6
• Формула нахождения отношения длин отрезков, на которые биссектриса делится точкой пересечения биссектрис
• Слайд 7

СВОЙСТВА БИССЕКТРИСЫ Битнер Татьяна Юрьевна Класс: 9 ОУ: МБОУ «Гимназия № 6 им. С.Ф. Вензелева »

Задача 1. Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3:2, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна 12 см.

Слайд 8

Решение Воспользуемся формулой для нахождение отношения длин отрезков, на которые биссектриса делится точкой пересечения биссектрис в треугольнике:   a + c = = 18  P ∆ АВС = a + b + c = b +( a + c ) = 12 + 18 = 30. Ответ: P = 30см.

Слайд 9

Задача 2 . Биссектрисы BD и CE ∆ ABC пересекаются в точке О. АВ=14, ВС=6, АС=10. Найдите О D .

Слайд 10

Решение. Воспользуемся формулой для нахождения длины биссектрисы: Имеем: BD = BD = = По формуле отношения отрезков, на которые биссектриса делится точкой пересечения биссектрис: l = . 2 + 1 = 3 части всего.

1. Слайд 11
2. это 1 часть  OD = Ответ: OD =
3. Слайд 12

Задачи В ∆ ABC проведены биссектрисы AL и BK . Найдите длину отрезка KL , если AB = 15, AK =7,5, BL = 5. В ∆ ABC проведена биссектриса AD , а через точку D прямая, параллельная AC и пересекающая AB в точке Е.

Найдите отношение площадей ∆ ABC и ∆ BDE , если AB = 5, AC = 7. Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 см и 18см.

В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.

Слайд 13

5. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найдите биссектрису угла при основании треугольника. 6. Найдите биссектрису прямого угла треугольника, у которого катеты равны a и b . 7.

Вычислите длину биссектрисы угла А треугольника ABC с длинам сторон a = 18 см, b =15 см, c = 12 см. 8. В треугольнике ABC длины сторон AB , BC и AC относятся как 2:4:5 соответственно.

Найдите, в каком отношении делятся биссектрисы внутренних углов в точке их пересечения.

Слайд 14

Ответы: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: AP = 6 AP = 10 см. KL = CP =

Источник: https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2013/03/20/svoystva-bissektrisy-treugolnika

Что такое биссектриса треугольника в геометрии: как найти по формуле и каковы ее свойства

Треугольник в геометрии — основная фигура, которую нельзя разделить на составляющие. Отрезок прямой линии, соединяющий вершину с противоположной стороной, при условии разделения угла пополам, — это биссектриса треугольника. Так как данная фигура содержит 3 угла, соответственно, из каждого можно провести линию, делящую его на равные компоненты.

Свойства биссектрисы

Равносторонняя треугольная фигура характеризуется не только равенством сторон, но внутренние углы также одинаковы, при этом они составляют 60° каждый.

Поэтому проведенная биссектриса одновременно является высотой, медианой. Она обладает не только своими качествами, но и характеристиками высоты, медианы треугольника:

• делит противоположные стороны на равные части;
• перпендикулярна к противолежащей стороне;
• в точке пересечения 3 линий каждый отрезок делится в соотношении 2:1, считая от вершины (свойство медианы);
• из центра пересечения можно одновременно провести окружность внутри и вокруг фигуры;
• линии, делящие на равные части внешние углы правильного треугольника, параллельны противоположно расположенным сторонам фигуры;
• все 3 отрезка, проведенные из вершин, равны по длине.

Это интересно! Урок геометрии: как найти по формуле периметр треугольника

Наиболее простая формула, определяющая, как найти биссектрису треугольника, выражается через радиус вписанной (r) или описанной (R) окружности:

Характеристика внутренних линий

Основное свойство биссектрисы треугольника с равными боковинами: отрезок, опущенный из вершины, одновременно является медианой, высотой.

При этом, кроме разделения угла на 2 равные части, линия характеризуется следующими качествами:

• делит нижнее основание пополам;
• служит перпендикуляром к противолежащей стороне;
• отрезок луча, разделяющий внешний угол вершины с равными боковинами, параллелен основанию.

Важно! Биссектрисы равных углов у основания также равны между собой по длине.

При этом верно обратное утверждение: когда 2 биссектрисы равны между собой, то треугольник считается равнобедренным.

Если вершина содержит 90° (прямой угол), то отрезки, опущенные на катеты, пересекаются под 45°. В этом случае определить размер искомого отрезка помогает теорема Пифагора.

Это интересно! Что значит вертикально и как выглядит вертикальная линия

Пример

В треугольнике АВС вершина А содержит 90°. Отрезок АД служит высотой, биссектрисой и медианой одновременно. Образованы 2 прямоугольные трехсторонние фигуры: АВД и АСД, у которых равны основания (ВД=СД). Требуется найти длину отрезка АД.

По теореме Пифагора АД2 = АВ2-ВД2. Отсюда АД = √АВ2-ВД2.

Это интересно! Изучаем символы: как обозначается в математике площадь

Соотношение со сторонами треугольника

Слово, в переводе с латинского языка, обозначает «сечение поперек».

Чем отличается биссектриса от других главных и второстепенных отрезков треугольной фигуры, было известно еще Архимеду, который в своих трудах активно использовал ее свойства для определения сторон многоугольников. При этом количество сторон должно быть кратным трем.

Классическая теорема о биссектрисе гласит, что линия разделяет противоположную сторону на 2 отрезка, отношение которых друг к другу такое же, как соотношение двух соприкасающихся к основанию сторон.

Пример

Дан треугольник АВС. Из вершины А проведена биссектриса АД, разделяющая сторону ВС на 2 отрезка (ДВ и ДС). Смысл теоремы сводится к равенству нескольких величин: ВД/АВ=СД/АС и ВД/ДС=АВ/АС. Лучше понять формулу помогает фото треугольника с проведенной линией.

Характеристика линий:

• любая биссектриса, выпущенная из вершины неправильного треугольника, расположена между медианой и высотой, выходящей из этого же места;
• все точки, расположенные на отрезке, удалены от сторон по бокам вершины на одинаковое расстояние;
• лучи, разделяющие пополам внешний и внутренний угол треугольной фигуры, перпендикулярны между собой;
• все отрезки, делящие на равные части внутренние углы, пересекаются в строго определенной точке, которая служит центром вписанной в эту фигуру окружности;
• если две биссектрисы равны по длине, то фигура – равнобедренная, если все одинакового размера, треугольник – правильный.

Способы построения

Зная, что такое биссектриса, легко определить расположение отрезка в треугольной фигуре. Для построения применяется несколько способов:

1. Известен угол, из которого исходит прямая, делящая его на равные сегменты. Значение делится пополам. На рисунке с помощью транспортира строится нужный отрезок.
2. Если параметры угла неизвестны, его измеряют транспортиром, делят пополам, затем проводят искомую линию.
3. Оригинальный способ построить нужный отрезок с помощью карандаша, линейки и циркуля. Из любой вершины проводится окружность произвольного радиуса. Главное, что величина должна быть меньше, чем прилегающая сторона. Место пересечения с каждой стороной считается центром для еще двух окружностей с таким же шагом циркуля. Нарисовать еще два круга, которые пересекаются между собой два раза. Через полученные точки и вершину под линейку проводится прямая, которая и есть настоящая биссектриса внутреннего угла.
4. Построить треугольник по известной длине трех отрезков (АВ, ВС, АС) можно с помощью линейки и циркуля. На произвольной прямой линии обозначить сегмент, равный АВ. Из точки А провести окружность с шагом циркуля равным АС, а затем аналогично из точки В провести окружность с шагом ВС. Точка пересечения – вершина искомой треугольной фигуры (С), в которой легко определяются биссектрисы, учитывая их характеристики.

Важно! Если известны только размеры биссектрис, то построить по данным параметрам возможно бесконечное количество подобных фигур.

Источник: https://znaniya.guru/matematika/bissektrisa-treugolnika.html